[論文レビュー] The tensor structure on the representation category of the W_p triplet algebra

Akihiro Tsuchiya, Simon Wood|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 57被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、物理学的発想に基づく結合計算手法を形式化・適用することで、Wp-代数の表現カテゴリであるbraided monoidal category Wp-modの剛性を確立する。すべての単純および射影的Wp-加群について明示的な結合則を証明し、Fuchs らおよび Gaberdiel-Runkel の予想を数学的に厳密な枠組みで裏付ける。

ABSTRACT

We study the braided monoidal structure that the fusion product induces on the abelian category Wp-mod, the category of representations of the triplet W-algebra Wp. The Wp-algebras are a family of vertex operator algebras that form the simplest known examples of symmetry algebras of logarithmic conformal field theories. We formalise the methods for computing fusion products, developed by Nahm, Gaberdiel and Kausch, that are widely used in the physics literature and illustrate a systematic approach to calculating fusion products in non-semi-simple representation categories. We apply these methods to the braided monoidal structure of Wp-mod, previously constructed by Huang, Lepowsky and Zhang, to prove that this braided monoidal structure is rigid. The rigidity of Wp-mod allows us to prove explicit formulae for the fusion product on the set of all simple and all projective Wp-modules, which were first conjectured by Fuchs, Hwang, Semikhatov and Tipunin; and Gaberdiel and Runkel.

研究の動機と目的

• 非半単純表現カテゴリに対して物理学文献で用いられる結合積計算技法を、数学的に厳密に形式化すること。
• Wp-代数の表現カテゴリ Wp-mod におけるbraided monoidal 構造の剛性を確立すること。
• すべての単純および射影的Wp-加群について明示的な結合積公式を導出することにより、先行する予想を確認すること。
• 対数的 conformal field theory におけるヒューリスティックな物理学的手法と厳密な数学的構成との間の溝を埋めること。

提案手法

• Nahm, Gaberdiel, Kausch の非半単純カテゴリ向けの結合計算手法を適応・形式化する。
• Huang, Lepowsky, Zhang の厳密な枠組みを用いて、Wp-mod におけるbraided monoidal 構造を構成する。
• 頂点演算子代数および表現論の形式的枠組みを用いて、Wp-加群のカテゴリにおける結合を分析する。
• 圏論的手法を用いて、Wp-mod におけるbraided monoidal 構造の剛性を証明する。
• Wp-代数の表現理論の文脈において、形式化された手法を用いて系統的に結合積を計算する。
• 得られた結合則が、Fuchs, Hwang, Semikhatov, Tipunin, Gaberdiel-Runkel の予想された公式と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wp-mod のbraided monoidal 構造は、モジュラーテンソルカテゴリに必要な剛性を満たすか？
• RQ2 物理学的発想に基づく結合計算手法は、非半単純カテゴリに対して数学的に厳密な枠組みに形式化可能か？
• RQ3 Wp-加群の明示的結合則は、Fuchs らおよび Gaberdiel-Runkel の予想と一致するか？
• RQ4 Wp三重項代数の表現カテゴリにおける結合積の圏論的構造は何か？
• RQ5 形式化された結合技法を用いて、Wp-mod の剛性はどのように確立できるか？

主な発見

• Wp-mod におけるbraided monoidal 構造が剛性を示すことが証明され、モジュラーテンソルカテゴリに必要な重要な構造的性質が裏付けられた。
• 任意の二つの単純Wp-加群の結合積が明示的に計算され、Fuchs, Hwang, Semikhatov, Tipunin の予想された公式と一致した。
• 任意の二つの射影的Wp-加群の結合積が明示的に特定され、Gaberdiel と Runkel の予想と一致した。
• 形式化された結合計算手法は、Wp-mod の非半単純な設定において一貫性があり検証可能である結果をもたらした。
• Wp-mod の剛性により、Wp-加群の全カテゴリにわたる閉形式の結合則が導出可能となった。