[論文レビュー] The Termination of Algorithms for Computing Gröbner Bases

Senshan Pan, Yupu Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、一般化されたF5GENアルゴリズムと柔軟な挿入戦略を導入することで、Gröbner基底を計算するためのF5、F5B、GVWHSアルゴリズムの終了性と正しさを完全に証明する。適切な単項式およびモジュール順序が整合している場合、終了性が保証されることを確立し、計算代数幾何学における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

The F5 algorithm is generally believed as one of the fastest algorithms for computing Gröbner bases. However, its termination problem is still unclear. Recently, an algorithm GVW and its variant GVWHS have been proposed, and their efficiency are comparable to the F5 algorithm. In the paper, we clarify the concept of an admissible module order. For the first time, the connection between the reducible and rewritable check is discussed here. We show that the top-reduced S-Gröbner basis must be finite if the admissible monomial order and the admissible module order are compatible. This paper presents a complete proof of the termination and correctness of the GVWHS algorithm. What is more, it can be seen that the GVWHS is in fact an F5-like algorithm. Different from the GVWHS algorithm, the F5B algorithm may generate redundant sig-polynomials. Taking into account this situation, we prove the termination and correctness of the F5B algorithm. And we notice that the original F5 algorithm slightly differs from the F5B algorithm in the insertion strategy on which the F5-rewritten criterion is based. Exploring the potential ordering of sig-polynomials computed by the original F5 algorithm, we propose an F5GEN algorithm with a generalized insertion strategy, and prove the termination and correctness of it. Therefore, we have a positive answer to the long standing problem of proving the termination of the original F5 algorithm.

研究の動機と目的

• 元のF5アルゴリズムの終了性を証明するという長年の未解決問題を解決すること。
• 署名ベースのGröbner基底アルゴリズムにおける、還元可能であるか再書き込み可能であるかのチェックの関係を明確にすること。
• GVWHSアルゴリズムの終了性と正しさについて、完全かつ厳密な証明を提供すること。
• F5Bおよび元のF5アルゴリズムが、異なる挿入戦略を持つ一般化されたF5GENアルゴリズムの特別なケースであることを示すこと。
• 異なる挿入および選択メカニズムを持つ署名ベースのアルゴリズムの理論的基盤を統一し、それらがF5の変種であることを示すこと。

提案手法

• 適切なモジュール順序の新しい定義を導入し、適切な単項式順序との整合性を確立する。
• 整合的な順序付けの下でトップ還元されたS-Gröbner基底の有限性を証明し、核心的な理論的基盤を構築する。
• F5およびF5Bを一般化する、一般化された挿入戦略を備えたF5GENアルゴリズムを提案する。
• トップ不還元的署名に関する帰納法を用いてF5GENの終了性を証明し、このような署名の有限性を活用する。
• 誤って挿入されたペア（ misplaced pairs ）とその補正を $\prec_{pm}$ 順序を用いて分析し、冗長性が存在しても終了性を保証する。
• GVWHSをF5に類似したアルゴリズム（F5G）として再定式化し、構造的類似性を活用して終了性の証明と比較を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 元のF5アルゴリズムは、適切な単項式およびモジュール順序の下で、任意の有限個の同次多項式に対して終了するか？
• RQ2 署名ベースのGröbner基底アルゴリズムにおける、還元可能であるか再書き込み可能であるかのチェックの正確な関係は何か？
• RQ3 冗長なsig多項式を生成するF5Bアルゴリズムは、終了性を示し、正しいGröbner基底を出力できるか？
• RQ4 GVWHSアルゴリズムは構造的および動作的にF5と同等であると見なせるか？ その終了性を厳密に証明できるか？
• RQ5 F5およびF5Bが異なる挿入戦略を持つ特別なケースとして含まれる一般化されたF5GENアルゴリズムを構築できるか？ そして、そのアルゴリズムは終了性と正しさを保証するか？

主な発見

• 適切な単項式およびモジュール順序の下で、元のF5アルゴリズムは、任意の有限個の同次多項式に対して終了し、正しいGröbner基底を計算する。
• 一般化された挿入戦略を備えたF5GENアルゴリズムは、F5およびF5Bを特別なケースとして含む包括的なフレームワークを提供する。
• GVWHSアルゴリズムは終了性が証明され、構造的にF5と同等であることが示され、F5に類似したアルゴリズムであることが判明した。
• F5Bアルゴリズムは、トップ不還元的署名の有限性と誤って挿入されたペアの制御された補正のおかげで、冗長なsig多項式を生成しても終了性が保証される。
• 終了性の証明は、整合的な順序付けの下でトップ還元されたS-Gröbner基底の有限性に依存しており、これは基礎的結果として確立された。
• Gash（2009）およびArriとPerry（2011）の文献における以前の誤った終了性証明を、厳密かつ完全な議論によって是正した。