[論文レビュー] The third smallest Salem number in automorphisms of K3 surfaces

Keiji Oguiso|ArXiv.org|May 14, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、第三に小さい既知のセーモン数をトポロジカルエントロピーとして持つK3表面自己同型を構成し、その実現に特異な組み合わせであるシーゲル円板と点ごとに固定される有理曲線を用いる。さらに、最小のセーモン数（レーマー数）が任意のエヌリクス表面自己同型のトポロジカルエントロピーとして実現可能でないことを、特徴多項式のmod 2還元と格子論的制約を用いて証明する。

ABSTRACT

We realize the logarithm of the third smallest known Salem number as the topological entropy of a K3 surface automorphism with a Siegel disk and a pointwisely fixed curve at the same time. We also show the logarithm of the Lehmer number, the smallest known Salem number, is not realizable as the topological entropy of any Enriques surface automorphism. These results are entirely inspired by McMullen's works and Mathematica programs.

研究の動機と目的

• 第三に小さい既知のセーモン数をトポロジカルエントロピーとして持つK3表面自己同型の構成。
• K3表面自己同型において、シーゲル円板と点ごとに固定される有理曲線が共存することの証明。
• 最小の既知のセーモン数（レーマー数）がエヌリクス表面自己同型のトポロジカルエントロピーとして実現可能かどうかの特定。
• エヌリクス表面格子の文脈において、特徴多項式のmod 2還元を用いた構造的障害の確立。

提案手法

• 8本の有理曲線からなるE8(-1)構成と自明な正則リーマン形式を備えたK3表面Sを構成し、代数的次元0を保証する。
• コホロジー上の作用が第三に小さいセーモン数をスペクトル半径として実現する自己同型gを定義する。
• gの固定点集合を解析し、1本の有理曲線と8個の孤立点から成り、シーゲル円板はE8(-1)構成に属さない1つの孤立点でのみ存在することを示す。
• 正則リーマン形式の直交補空間上のワイル群作用を用い、自己同型をコクセター類によってモデル化する。
• エヌリクス格子上の自己同型の特徴多項式にmod 2還元を適用し、可約性の障害を検出する。
• Mathematicaによる計算を活用し、レーマー多項式および関連セーモン多項式のmod 2還元の不可約因子分解を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第三に小さい既知のセーモン数は、シーゲル円板と点ごとに固定される曲線を併せ持つK3表面自己同型のトポロジカルエントロピーとして実現可能か？
• RQ2 エヌリクス表面自己同型がレーマー数の対数に等しいトポロジカルエントロピーを持つことは可能か？
• RQ3 格子的およびmod 2制約を考慮した場合、どのセーモン数がエヌリクス表面自己同型のトポロジカルエントロピーとして実現可能か？
• RQ4 シーゲル円板と固定曲線を併せ持つK3表面自己同型のトポロジカルエントロピーとして実現可能な最小のセーモン数は何か？
• RQ5 コンパクトなハイパーケーラー多様体は、次元の半分に等しい次元のシーゲル円板を有する自己同型を有するか？

主な発見

• トポロジカルエントロピーが第三に小さい既知のセーモン数（約log(1.200026523)）に等しいK3表面自己同型が構成された。
• 自己同型は滑らかな有理曲線と8個の孤立点を固定し、シーゲル円板はE8(-1)構成に属さない1つの孤立点でのみ存在する。
• K3表面の自己同型群はgで生成される無限巡回群であり、8本の有理曲線以外に他の既約曲線は含まない。
• 最小の既知のセーモン数（レーマー数）の対数は、任意のエヌリクス表面自己同型のトポロジカルエントロピーとして実現不可能である。
• レーマー多項式のmod 2還元は2つの不可約5次多項式に分解され、エヌリクス格子における実現のための必要条件を満たさない。
• 第五に小さい既知のセーモン数（1.216391...）についても、同様のmod 2因数分解の障害により、エヌリクス表面自己同型のトポロジカルエントロピーとして実現不可能である。