[論文レビュー] The tight groupoid of an inverse semigroup

Ruy Exel, Enrique Pardo|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、零元をもつ逆半群 S に対して、その関連するタイト群コホーク Gtight(S) がハウスドルフ、本質的に純粋、最小、または収縮的であるための代数的条件を確立する。タイト表現および冪等元の半群におけるフィルターの理論を用いて、これらの位相的および力学的性質を特徴付ける必要十分条件を導出し、その群コホークから生じる C*-代数の分類を可能にし、特にその簡約 C*-代数の単純性および純粋無限性に関する基準を提示する。

ABSTRACT

In this work we present algebraic conditions on an inverse semigroup S (with zero) which imply that its associated tight groupoid G_{tight)(S) is: Hausdorff, essentially principal, minimal and contracting, respectively. In some cases these conditions are in fact necessary and sufficient.

研究の動機と目的

• 逆半群 S のタイト群コホーク Gtight(S) がハウスドルフ、本質的に純粋、最小、または収縮的である条件を特徴づけること。
• これらの群コホークの性質を示す代数的かつ検証可能な S の条件を提供すること。
• 生成元と関係式によって定義される C*-代数の構造的解析を統一すること、特に部分等長作用素を含むものについて。
• Gtight(S) の簡約 C*-代数が単純または純粋無限であるための十分条件を確立すること。
• タイト表現理論の適用範囲を、自己相似的グラフや Nekrashevych 代数を含む広範な C*-代数のクラスへと拡張すること。

提案手法

• 逆半群 S に関連するタイト群コホーク Gtight(S) の構成を用い、冪等元の半群 E におけるタイトフィルターに基づく。
• 空間 ˆE0 の積位相を用いて Gtight(S) の位相を定義する。
• 群コホークの性質を、有限被覆や冪等元の直交性といった S における代数的条件によって特徴づける。
• s ↦ s∗s を通じた単位空間上の作用 θs を用い、閉開集合 Dθ_e を用いてその力学的性質を研究する。
• E 内の要素に対する外部被覆の概念を導入し、最小性および収縮的性質の分析に用いる。
• 群コホーク C*-代数理論の結果（例：[4], [5], [1]）を応用し、群コホークの性質から C∗_red(Gtight(S)) の構造的性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆半群 S に対して、タイト群コホーク Gtight(S) がハウスドルフであるための代数的条件は何か？
• RQ2 Gtight(S) が本質的に純粋であるとは、S のどの代数的性質が保証するか？
• RQ3 S にどのような条件が課されると、Gtight(S) が最小または収縮的になるか？
• RQ4 Gtight(S) の性質は、その簡約 C*-代数の構造とどのように関係するか？
• RQ5 S にどのような条件が課されると、C∗_red(Gtight(S)) が単純または純粋無限になるか？

主な発見

• Gtight(S) がハウスドルフであるための必要十分条件は、E 内のすべてのタイトフィルターが極大フィルターであること。
• Gtight(S) が本質的に純粋であるための必要十分条件は、E 内のすべてのタイトフィルターが極大フィルターであること。
• Gtight(S) が最小であるための必要十分条件は、任意の 0 ≠ e, f ∈ E に対して、s1, ..., sn ∈ S が存在して、{sifs∗i}1≤i≤n が e の外部被覆となること。
• Gtight(S) が収縮的であるための必要十分条件は、任意の 0 ≠ e ∈ E に対して、s ∈ S および冪等元 f0, f1 が存在し、f0 ≤ f1 ≤ es∗s、sf1s∗≤ f1、f0sf1 = 0 を満たすこと。
• S が可算であり、条件 (a)–(d) を満たすならば、C∗_red(Gtight(S)) は純粋無限単一 C*-代数である。
• 条件 (a)–(d) は、簡約群コホーク C*-代数が単一かつ純粋無限であるための十分条件であり、Nekrashevych 代数や Katsura 代数の結果を一般化する。