[論文レビュー] The Topology of the $m$-Tamari Lattices

Henri Mühle|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$m$-Dyckパスを用いた新しい$ m $-TamariラティスのELラベル付けを提示し、そのELシェルラビリティを証明するとともに、Möbius関数が\{-1, 0, 1\}の値しかとらないことを計算した。さらに、これらのラティス内の区間が点または球面とホモトピー同値であることを特徴づけ、パスに基づく組合せ論によりその位相的単純性を確立した。

ABSTRACT

The $m$-Tamari lattices $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ were recently introduced by Bergeron and Préville-Ratelle as posets on $m$-Dyck paths, and it was shown by Bousquet-Mélou, Fusy and Préville-Ratelle that these lattices form intervals in the classical Tamari lattice $\mathcal{T}_{nm}$. It follows from a theorem by Björner and Wachs and a basic property of EL-shellable posets, that the $m$-Tamari lattices are EL-shellable. In this article, we define a new EL-labeling of the $m$-Tamari lattices completely in terms of $m$-Dyck paths. With the help of this labeling, we compute the values of the Möbius function of $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$, and we characterize the intervals of $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ according to their topological properties.

研究の動機と目的

• $m$-Dyckパスの枠組み内で完全に、$m$-Tamariラティスの新しい内在的ELラベル付けを提供すること。
• 新しいラベル付けとシェルラビリティの性質を用いて、$\mathcal{T}_{n}^{(m)}$のMöbius関数を計算すること。
• $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$内の区間の位相的型を、そのホモトピー同値性に基づいて特徴づけること。
• 既存の左モジュラー性やトリムラティスに関する結果に依存せず、自己完結的でパスに基づく証明を提供し、$m$-Tamariラティスの位相的および代数的性質を示すこと。

提案手法

• $m$-Dyckパスの構造を用いて、$m$-Tamariラティス$\mathcal{T}_{n}^{(m)}$の新しいELラベル付けを定義し、BjörnerとWachsの構成を一般化する。
• 新しいラベル付けを用いて、すべての$m, n \geq 1$に対して$\mathcal{T}_{n}^{(m)}$がELシェルラブルであることを証明する。
• $D \subseteq \{2, \dots, n\}$ に対する $\text{diff}_D(\hat{0})$ と $\text{diff}_D(\hat{1})$ の集合を特徴づけ、$D$ でインデックスが異なる要素に対応する。
• 特定の位置における原始的部分列を段階的に減少させることで、$\hat{0}$ から $\text{diff}_D(\hat{0})$ の要素への降下チェインを構成する。
• $\text{diff}_D(\hat{1})$ 内の最大チェインの数を数えることで、Möbius関数 $\mu(\mathbf{a}, \hat{1})$ を分析し、$D = \emptyset$ または $D = [i,n]$ のみで非ゼロであることを示す。
• $|\mathcal{S}_n^{(m)}(\hat{0})| = |\mathcal{S}_n^{(m)}(\hat{1})| = 2^{n-1}$ を確立し、Möbius関数が非ゼロとなる要素の数を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $m$-Tamariラティス $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ のMöbius関数の構造は何か？
• RQ2 $m$-Dyckパスの組合せ論のみを用いて、$\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ のELシェルラビリティをどのように確立できるか？
• RQ3 $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 内のどの区間が球面または点とホモトピー同値か？
• RQ4 Möbius関数が非ゼロとなる要素の集合と$m$-Dyckパスの構造との間の明確な関係は何か？

主な発見

• すべての正の整数$m$と$n$に対して、新しいパスに基づくELラベル付けにより、$m$-Tamariラティス $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ はELシェルラブルである。
• $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ のMöbius関数は\{-1, 0, 1\}の値しかとらず、すべての区間$[\mathbf{a}, \mathbf{b}]$ に対して $\mu(\mathbf{a}, \mathbf{b}) \in \{-1, 0, 1\}$ である。
• $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ のすべての閉区間は、Möbius関数の値とチェイン構造により、点または球面とホモトピー同値であることが確認された。
• $\mu(\mathbf{a}, \hat{1}) \neq 0$ となる要素 $\mathbf{a} \in \mathcal{T}_{n}^{(m)}$ の数は正確に $2^{n-1}$ であり、同様に $\mu(\hat{0}, \mathbf{a}) \neq 0$ となる場合も同様である。
• すべての $D \subseteq \{2, \dots, n\}$ に対して $\text{diff}_D(\hat{0})$ は空でないが、$\text{diff}_D(\hat{1})$ は $D = \emptyset$ または $D = [i,n]$（$i \geq 2$）のときのみ空でない。
• $\mathcal{T}_{n}^{(m)}$ 内でMöbius関数が非ゼロとなる要素の総数は $2^{n-1}$ であり、$\hat{0}$ 以上と$\hat{1}$以下で両方とも同様である。これは、ポセット構造における対称性を確認する。