[論文レビュー] Cubic realizations of Tamari interval lattices

Camille Combe|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2019

semigroups and automata theory参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Tamari区間格子を符号化するコン pactな整数タプルである立方体座標を導入し、区間ポセットを介してこれらの座標とTamari区間の間の全単射を確立する。主な貢献は、R^{n-1}における立方体複体としてのTamari区間格子の幾何的実現であり、立方体座標が空間座標として機能し、この複体内の細胞と同期された立方体座標の間の全単射が証明されている。

ABSTRACT

We introduce cubic coordinates, which are integer words encoding intervals in the Tamari lattices. Cubic coordinates are in bijection with interval-posets, themselves known to be in bijection with Tamari intervals. We show that in each degree the set of cubic coordinates forms a lattice, isomorphic to the lattice of Tamari intervals. Geometric realizations are naturally obtained by placing cubic coordinates in space, highlighting some of their properties. Finally, we consider the cellular structure of these realizations.

研究の動機と目的

• Tamari区間の新しいコン pactな符号化を、整数タプルと呼ぶ立方体座標を用いて提供すること。
• これらの座標を用いて、R^{n-1}におけるTamari区間格子の幾何的実現を構築すること。
• この幾何的実現の細胞と同期された立方体座標の間の全単射を証明すること。
• 立方体座標の集合がTamari区間格子と同型であるラテンスであることを示すこと。
• この幾何的実現の細胞構造と同期された区間の組合せ論との関係を明らかにすること。

提案手法

• Tamari図と双対Tamari図の整合性を持つペアとしてTamari区間図を定義する。
• Tamari区間図から二段階の符号化プロセスを経て得られる(n-1)-タプルとして立方体座標を構成する。
• 図の整合性条件を用いて、Tamari区間図と区間ポセットの間の全単射を確立する。
• 幾何的実現におけるカバー関係を用いて、立方体座標の集合にTamari区間格子と同型な半順序を導入する。
• 立方体座標をR^{n-1}に埋め込み、カバー関係の向き付きグラフを形成することで幾何的実現を定義する。
• 最小細胞の立方体座標（細胞）から同期された立方体座標への写像Γを導入し、構造的および順序論的議論を用いて全単射を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Tamari区間を、そのラテンス構造を保ちつつ、計算的に効率的でコン pactな方法で符号化するにはどうすればよいか？
• RQ2 ユークリッド空間における座標系を用いて、Tamari区間格子の幾何的実現を構築できるか？
• RQ3 この幾何的実現の細胞構造と同期されたTamari区間の組合せ論の間にはどのような関係があるか？
• RQ4 この幾何的実現の細胞と同期された立方体座標の集合との間に自然な全単射が存在するか？
• RQ5 Tamari区間の代数的および順序論的性質は、立方体座標枠組みにおいてどのように現れるか？

主な発見

• 立方体座標は、幾何的実現におけるカバー関係によって誘導される半順序を備えた、Tamari区間格子と同型なラテンスを形成する。
• R^{n-1}における立方体座標の幾何的実現は、各点がTamari区間に対応する立方体複体を生成する。
• サイズnの幾何的実現の細胞の集合とサイズnの同期された立方体座標の集合との間の全単射Γが確立された。
• 同期されたTamari区間は、符号化の性質により、ゼロ成分を含まない立方体座標に正確に対応する。
• サイズnの幾何的実現における細胞の数は、サイズnの同期された立方体座標の数に等しく、Γの全単射性が裏付けられた。
• 全単射の証明は、立方体座標の半順序集合の構造的性質とアッパーダッシュ操作の振る舞いに依拠しており、座標とその直後の座標の間に中間の立方体座標が存在しないことを保証する。