[論文レビュー] The trace formula and the existence of PEL type Abelian varieties modulo p

Arno Kret|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、アーティンとラポルト＝ラングランズの予想に条件付きで、型(A)および(C)のPEL型シャイマーヴァリエティのpで割ったものにおけるニュートン層の空でないことを、トレース公式を用いて確立する。さらに、同様の仮定のもとで奇数のスピン群に対しても空でないことを示し、特異なヘッケ作用素を構成することで、自動形式表現空間におけるトレースの非消滅を保証し、与えられたp進ホッジ構造を持つアーベル・多様体の存在を確認する。

ABSTRACT

We show, using the trace formula, that any Newton stratum of a Shimura variety of PEL-type of types (A) and (C) is non-empty at the primes of good reduction. Furthermore we prove conditionally the non-emptiness for Shimura data associated to odd Spin groups. Our results are conditional on Rapoport-Langlands conjecture and Arthur's conjectures on the discrete spectrum. Both these results have been announced by Arthur and Kisin in significant cases.

研究の動機と目的

• 良い還元を持つ型(A)および(C)のPEL型シャイマーヴァリエティにおける、すべてのニュートン層が非空であることを証明すること。
• 自動形式理論における深い予想に条件付きで、奇数のスピン群に関連するシャイマーデータに対しても非空性の結果を拡張すること。
• トレース公式および安定的軌道積分に基づく方法を確立し、ニュートン層における非消滅コホモロジーを検出することで、その幾何的非空性を保証すること。
• 関連するトレース公式の式が消えないようにする特定のヘッケ作用素を構成し、与えられたディエュドンヌ等倍体構造を持つアーベル多様体の存在を証明すること。
• 群の準分裂内包形G*における適切に選ばれた関数の下で、シュタインバーグ表現の性質と擬係数を用いて、トレースTr(χ_b^{G(Q_p)} f_α, Π₀,p)が非ゼロであることを確認すること。

提案手法

• Kottwitzのトレース公式を用いて、pで割ったPEL型シャイマーヴァリエティのニュートン層における点数を数える。
• ねじれ軌道積分を分析し、準同型群上の安定的トレースに移行させることで、トレース公式を個々のニュートン層に制限する。
• 簡略化された安定的トレース公式を適用し、準分裂内包形G*のカスプ形式自動形式表現におけるb-切り捨てトレースの和を計算する。
• αの整除性の下で、すべての他の寄与が正の実数比を持つように、Hecke作用素f^pを選び、唯一の自動形式表現Π₀が顕著に寄与するようにする。
• 正のプランシュレ測度を持つ表現を構成し、擬係数技術を用いて、Tr(χ_b^{G(Q_p)} f_α, Π₀,p)が非ゼロであることを証明する。
• 誘導表現およびパラボリック部分群への制限を用いて、G*上のシュタインバーグ表現が選ばれた関数の下で非ゼロトレースを支持することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の許容的等倍体b ∈ B(G_{Q_p}, μ)は、特徴がpであるP型構造を持つアーベル多様体の有理ディエュドンヌモジュールとして現れるか？
• RQ2 型(A)および(C)のPEL型シャイマーヴァリエティにおけるニュートン層の非空性は、トレース公式の手法によって確立可能か？
• RQ3 自動形式およびトレース公式の技術を用いて、奇数のスピン群への非空性結果を拡張する条件は何か？
• RQ4 あるニュートン層における非消滅コホモロジーを検出できるヘッケ作用素f^pが存在するか？
• RQ5 適切な局所表現Π_pが存在する場合、トレースTr(χ_b^{G(Q_p)} f_α, Π_p)が保証的に非ゼロになるか？

主な発見

• 型(A)および(C)のPEL型シャイマーヴァリエティに対して、任意のb ∈ B(G_{Q_p}, μ)に対応するニュートン層は、トレース公式およびKottwitzの公式により非空であることが示された。
• シミリチュードに関する奇数のスピン群に対しては、アーティンの予想およびラポルト＝ラングランズの予想に条件付きで、ニュートン層の非空性が確立された。
• ヘッケ作用素f^pが寄与の比が正になるように選ばれた場合、トレース公式の式(0.1)は非ゼロであり、非消滅コホモロジーを保証する。
• 関数f^{G*}の下で、準分裂内包形G*上のシュタインバーグ表現は非ゼロトレースを支持する。これは非ゼロ性の議論において重要である。
• Tr(f^{G*}, St_{G*})は非ゼロである。これは、シュタインバーグ表現への非自明なH*-単射を構成し、擬係数トレース恒等式を用いて示された。
• 正のプランシュレ測度およびユニタリティ制約を用いて、非ゼロ局所トレースTr(χ_b^{G(Q_p)} f_α, Π₀,p)を持つ表現Π₀の存在が確認された。