[論文レビュー] The tricategory of formal composites and its strictification

Peter Guthmann|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Advanced Algebra and Logic参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、任意の三圏 T を、貼り合わせ図式をグレイ圏 Tst で厳密に同等に計算できる構造に厳密に三同値に埋め込む、形式的合成の三圏 bT を導入する。1-および2-射の形式的合成を保存し、厳密三同値を活用することで、特に同調性細胞を含む複雑な三圏的計算が、半厳密グレイ圏におけるより単純な書き換えベースの計算に還元され、Globular などのツールによる形式的検証が可能になる。

ABSTRACT

The results of this thesis allows one to replace calculations in tricategories with equivalent calculations in Gray categories (aka semistrict tricategories). In particular the rewriting calculus for Gray categories as used for example by the online proof assistant globular (arXiv:1612.01093), or equivalently the Gray-diagrams of arXiv:1211.0529 can then be used also in the case of a fully weak tricategory.

研究の動機と目的

• この論文の目的は、完全に弱い三圏における複雑な計算を、半厳密グレイ圏における計算に還元することで簡略化することである。
• 標準的な三圏とグレイ圏の三同値は厳密ではなく、貼り合わせ図式の構造を保存しないという制限を扱う。
• 核となる目的は、元の三圏 T およびグレイ圏 Tst と厳密三同値である形式的合成の三圏 bT を構成することである。
• これにより、T における貼り合わせ図式の等式を、ほとんどの制約細胞が恒等写像である Tst で同等に検証できる。
• この方法により、Globular のようなツールで使用される書き換え計算論理が、一般の三圏における形式的推論に応用可能になる。

提案手法

• 三圏 bT は、T からの1-および2-射のすべての合成を形式的に符号化することで構成され、それらが同じ射に評価されても区別される。
• 評価関手 ev: bT → T は、同調性細胞を除きすべての構造を厳密に保存するほぼ厳密な三同値である。
• 2番目の厳密三同値 [−]: bT → Tst は、bT をグレイ圏 Tst に写像し、ここではインターチェンジャーを除くすべての制約細胞が恒等写像である。
• これらの三同値の合成により、T から Tst への経路が得られ、図式的還元が可能になる。
• この構成により、T の貼り合わせ図式は一意に bT に持ち上げられ、それらの等式は [−] によって Tst に保存される。
• これにより、Globular で一般的に用いられる書き換え図式を、完全に弱い三圏における推論に応用できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非厳密三同値であるにもかかわらず、完全に弱い三圏における貼り合わせ図式の等式を、グレイ圏における同等の等式に還元することは可能か？
• RQ2 1-および2-射の形式的合成をどのように用いて、元の三圏およびグレイ圏の両方と厳密三同値である三圏を構成できるか？
• RQ3 T から bT および bT から Tst への移行における同調性細胞の役割は何か？ そして、Tst ではどのように単純化されるか？
• RQ4 この構成を通じて、Globular で使用されるような書き換え計算論理を一般の三圏にどの程度応用できるか？
• RQ5 厳密三同値 [−]: bT → Tst は、bT における貼り合わせ図式の等式をどのように保存しながら、その構造を単純化するか？

主な発見

• 形式的合成の三圏 bT は、元の三圏 T およびグレイ圏 Tst と両方とも厳密三同値であり、計算の厳密な還元を可能にする。
• 評価関手 ev: bT → T はほぼ厳密三同値であり、bT における貼り合わせ図式の等式が T における等式と正確に一致することを保証する。
• 関手 [−]: bT → Tst はほぼ厳密三同値であり、bT における等式が Tst に保存され、ここでは大部分の3-細胞が恒等写像となる。
• その結果、T における貼り合わせ図式は、書き換え図式を用いて Tst で同等に検証可能となり、複雑さが著しく軽減される。
• この構成により、双随伴の公理のような公理の形式的検証が可能になる。それらは bT に持ち上げられ、Tst で単純化され、取り扱いやすくなる。
• この方法により、Globular 証明支援システムに適合する形式に三圏の構造を還元することで、一般の三圏における推論に Globular を応用可能になる。