[論文レビュー] The twisted Selberg trace formula and the Selberg zeta function for compact orbifolds

Ksenia Fedosova|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、コンpaktoな奇数次元双曲的オーロラボリズム上での非ユニタリ表現に対して、ねじれセレボルトの跡公式を確立し、関連するセレボルトゼータ関数が複素平面全体にメロモルフィックに拡張可能であることを証明している。この手法は、軌道積分の計算とオーロリバンドル上の熱核漸近展開を用いて、古典的な跡公式の技法を非ユニタリな状況へと拡張する。

ABSTRACT

We study elements of the spectral theory of compact hyperbolic orbifolds $Γ\backslash \mathbb{H}^{n}$. We establish a version of the Selberg trace formula for non-unitary representations of $Γ$ and prove that the associated Selberg zeta function admits a meromorphic continuation to $\mathbb{C}$.

研究の動機と目的

• 双曲的空間上で作用する離散群の非ユニタリ表現へのセレボルト跡公式の拡張。
• コンパクトなオーロラボリズムにおけるセレボルトゼータ関数がユニタリでない場合に、そのメロモルフィックな拡張を確立すること。
• 奇数次元の特異ストラトムを持つオーロリバンドル上での一般化されたラプラシアンに対する熱核漸近展開の一般化。
• 非ユニタリな状況下での楕円的要素に対する軌道積分の計算を行い、跡公式の応用を可能にすること。
• 奇数次元のオーロラボリズム上での解析的 torsion の研究のための基盤的ツールの提供。

提案手法

• 非自己随伴ラプラシアンと非ユニタリ表現 $\chi$ およびユニタリ表現 $\sigma$ に関連するねじれセレボルト跡公式を導出する。
• 関数 $\phi$ を $\mathcal{P}(\mathbb{C})$ に属するテスト関数として取り、スペクトルデータと軌道積分 $I_\phi(\gamma)$ を関連付ける跡公式を適用する。
• 誘導表現 $\pi_{\sigma',\lambda}$ の特性および偶数多項式 $P_\gamma(i\lambda)$ を用いて、楕円的要素の軌道積分を計算する。
• 一般化されたラプラシアンに対するオーロリバンドル上での熱トレース展開 $\text{Tr}\, e^{-t\Delta} \sim \sum_{k=0}^\infty a_k t^{k/2}$ を確立する。
• 次元が奇数の場合に熱展開の定数項が消えることを利用して、解析的 torsion の結果を裏付ける。
• 対称空間 $\mathbb{H}^{2n+1} = G/K$ に跡公式を適用する。ただし $G = SO_0(2n+1,1)$, $K = SO(2n)$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ユニタリな表現 $\chi$ を持つコンパクトな双曲的オーロラボリズムにおけるセレボルトゼータ関数は、複素平面全体にメロモルフィックに拡張可能か？
• RQ2 非自己随伴ラプラシアンが非ユニタリ表現から生じる場合、セレボルト跡公式は一般化可能か？
• RQ3 非ユニタリな状況下での楕円的要素に対する軌道積分の構造はいかなるものか？
• RQ4 奇数次元の特異ストラトムを持つオーロリバンドル上での熱核展開はどのように振る舞うか？
• RQ5 奇数次元における熱核の定数項が消えることの、解析的 torsion に与える影響は何か？

主な発見

• コンパクトな奇数次元双曲的オーロラボリズムおよび非ユニタリな $\chi$ に対して、セレボルトゼータ関数 $Z(s,\sigma,\chi)$ は $\mathbb{C}$ 全体にメロモルフィックに拡張可能である。
• 楕円的要素の軌道積分は $I_\phi(\gamma) = \sum_{\sigma' \in \widehat{SO(2n)}} \int_{\mathbb{R}} \Theta_{\lambda,\sigma'}(\phi) P_\gamma(i\lambda) d\lambda$ と表現され、特性関数と偶数多項式を含む。
• コンパクトなオーロリバンドル上での一般化ラプラシアンに対する熱トレース展開は、$\text{Tr}\, e^{-t\Delta} = \frac{1}{2\pi t^{\dim(\mathcal{O})/2}} \sum_{k=0}^\infty a_k t^{k/2}$ の形を取り、実数係数 $a_k$ を持つ。
• オーロラボリズムおよびそのすべての特異ストラトムが奇数次元である場合、定数項 $a_0$ は消える。
• 跡公式のアプローチにより、$Z'(s,\sigma,\chi)/Z(s,\sigma,\chi)$ の留数が整数であることが確認され、これによりメロモルフィックな拡張が裏付けられる。
• これらの結果は、今後の研究において、奇数次元オーロラボリズム上での解析的 torsion の計量不変性を証明する基盤を提供する。