[論文レビュー] The two-term Machin-like formula for pi with small arguments of the arctangent function

Sanjar M. Abrarov, Brendan M. Quine|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無理数のネストルート式を有理数近似に変換することで、任意に小さい逆正接引数をもつ二項のマチン型公式を導出する新規手法を提示する。π/4 を有理数の逆数をとる逆正接関数の和として表現することにより、計算に無理数を含めず、著しく高速な収束が可能となり、k=40 で1項あたり最大24桁のπが得られる。

ABSTRACT

In this paper we propose a new method for determination of the two-term Machin-like formula for pi with arbitrarily small arguments of the arctangent function. This approach excludes irrational numbers in computation and leads to a significant improvement in convergence with decreasing arguments of the arctangent function.

研究の動機と目的

• 逆正接関数の引数を任意に小さくできる二項マチン型公式を生成するための手法を開発すること。
• 逆正接関数の引数に無理数を含めないことで、πの数値計算を単純化・高速化すること。
• ネストルート式の有理数近似を活用することで、マチン型公式の収束速度を著しく向上させること。
• 平方根を含む代数的演算を避けることにより、有理数演算のみで高精度なπ計算を可能とすること。
• 高k値において、チュドノフスキー公式と同等の収束速度が、本手法によって達成可能であることを示すこと。

提案手法

• 既知の恒等式 π/4 = 2^{k-1} arctan(√(2−a_{k−1})/a_k) を、|ε| ≪ u₁ を満たす有理数 u₁ により、u₁ ≈ a_k / √(2−a_{k−1}) + ε と有理数近似に変換する。
• 剰余項 Δ = arctan(1/u₂) を導入し、π/4 を 2^{k−1} arctan(1/u₁) + arctan(1/u₂) の和として表現することで、二項マチン型公式を構成する。
• 複素数代数を用いて u₂ の閉形式有理式を導出：u₂ = 2 / [((u₁+i)/(u₁−i))^{2^{k−1}} − i] − i であり、u₁ が有理数のとき u₂ も有理数であることを保証する。
• 複素対数の恒等式と方程式 ( (β₁+i)/(β₁−i) )^{α₁} ( (β₂+i)/(β₂−i) )^{α₂} = i を用い、二項公式の正当性を検証する。
• Maclaurin級数 arctan(x) = x − x³/3 + x⁵/5 − ⋯ を用い、|x| が小さくなるほど収束が速くなることから、高い収束速度を正当化する。
• k = 2 から 23 まで数値的に検証し、k が増加するにつれて収束が向上し、k=23 で1項あたり14桁のπが得られることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数のみを用いて、任意に小さい逆正接引数をもつ二項マチン型公式を構築することは可能か？
• RQ2 既存のマチン型公式に現れる無理数的ネストルート式を、計算効率を向上させるために有理数近似に変換する方法は何か？
• RQ3 このような有理化された二項マチン型公式の実現可能な収束速度は何か？また、k の増加に伴いどのように変化するか？
• RQ4 逆正接関数の引数を有理数近似することで、マチン型公式の収束速度をチュドノフスキー公式と同等の水準まで向上させることは可能か？
• RQ5 大規模なk値に対してこのような公式を生成する計算的妥当性は何か？実際の制限は何か？

主な発見

• k=23 の場合、引数が 1/u₁ ≈ 1.87×10⁻⁷ および 1/u₂ ≈ 2.27×10⁻⁹ の二項マチン型公式が得られ、1項あたり14桁のπが達成される。
• k=40 の場合、理論的な収束速度は約24桁のπが1項あたり達成され、チュドノフスキー公式と同等の性能を示す。
• 有理数近似手法により、逆正接関数の引数に無理数が完全に排除され、高精度計算が簡素化される。
• 導出された u₂ の式により、1/u₁ と 1/u₂ が両方とも有理数となり、反復的π計算において正確な有理数演算が可能になる。
• 数値的検証により、m_max の各増分が、k = 2, 3, 5, 10, 17, 23 のそれぞれに対し、約1, 2, 3, 6, 10, 14桁のπを寄与することが確認された。
• 本手法は理論的にkに上限がない。十分な計算能力があれば、k > 40 で24桁/項を超える収束速度を達成可能である。