[論文レビュー] The undecidability of joint embedding and joint homomorphism for hereditary graph classes

Samuel Braunfeld|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2019

semigroups and automata theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限個の禁止部分グラフによって定義される遺伝的グラフクラスにおける結合埋め込み性（JEP）および結合準同型性（JHP）の決定不能性を証明する。著者は、決定不能なタイリング問題への還元を用いて、JEPおよびJHPがタイリング解の存在と正確に一致するようなグラフクラスを構成し、一般にこれらの性質を決定するアルゴリズムが存在しないことを確立する。

ABSTRACT

We prove that the joint embedding property is undecidable for hereditary graph classes, via a reduction from the tiling problem. The proof is then adapted to show the undecidability of the joint homomorphism property as well.

研究の動機と目的

• 有限個の禁止部分グラフによって定義される遺伝的グラフクラスにおける結合埋め込み性（JEP）の決定可能性を特定すること。
• 同じクラスの遺伝的グラフクラスにおける結合準同型性（JHP）の決定可能性を調査すること。
• 普遍的可算グラフに関する先行の決定不能性結果を、JEPおよびJHPの文脈に拡張すること。
• 置換クラスおよび単調グラフクラスにおける原子性および普遍性に関する未解決の問題に取り組むこと。

提案手法

• グリッドおよびタイル構造を特定の部分グラフ制約をもつグラフに符号化することで、決定不能なタイリング問題を結合埋め込み問題に還元する。
• グリッドとタイリングシステムをそれぞれ表す2つの標準的グラフ $A^*$ と $B^*$ を、構造的制御のための単項述語を用いて構築する。
• 禁止部分グラフによる制約を課し、$A^*$ と $B^*$ の結合埋め込みが有効なタイリング解を符号化することを保証する。
• コンパクト性定理を用いて、有限のJEPと可算構造におけるJEPを等価にし、モデル理論的推論を可能にする。
• 制約下で共通構造への準同型が埋め込みである必要があることを示すことにより、証明を結合準同型性へ適応する。
• 豊富な言語（単項述語を含む）を純粋なグラフ言語に翻訳する符号化技術を適用し、決定不能性を保持する。

Figure 1: A portion of the canonical models $A^{*}$ and $B^{*}$ , with the grid points in $A^{*}$ tiled by tiles attached to grid points with the same coordinates in $B^{*}$ . Path points are blue, with the origin a different shade. Grid points are red, their $y$ -coordinate determined by an orange

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた有限個の禁止部分グラフの集合に対して、それに対応する遺伝的グラフクラスが結合埋め込み性をもつかどうかを決定するアルゴリズムは存在するか？
• RQ2 与えられた有限個の禁止部分グラフの集合に対して、それに対応する遺伝的グラフクラスが結合準同型性をもつかどうかを決定するアルゴリズムは存在するか？
• RQ3 グラフに用いられた手法を応用して、有限基底の置換クラスにおける原子性の決定不能性を示すことができるか？
• RQ4 禁止非部分グラフによって定義される単調グラフクラスにおける結合埋め込み性は決定可能か？
• RQ5 JEPの決定不能性は、禁止置換によって定義される遺伝的グラフクラスの置換グラフに拡張可能か？

主な発見

• 有限個の禁止部分グラフによって定義される遺伝的グラフクラスにおける結合埋め込み性は決定不能である。
• 同じクラスの遺伝的グラフクラスにおける結合準同型性についても、決定不能である。
• 決定不能性は、既に決定不能であることが知られているタイリング問題への還元によって確立される。
• 証明はまず単項述語を含む拡張言語で行われ、その後符号化技術を用いて純粋なグラフ言語に還元される。
• 構成により、2つの特定のグラフ $A^*$ と $B^*$ の結合埋め込みが、タイリング問題の解と正確に一致することが保証される。
• この結果は、遺伝的グラフクラスが普遍的可算構造をもつかどうかを決定するアルゴリズムが存在しないことを示唆する。