[論文レビュー] The unifying formula for all Tribonacci-type octonions sequences and their properties

Gamaliel Cerda-Morales|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一般化されたトリボナッチ数の概念をオクタニオン代数へ拡張することで、一般化されたトリボナッチ型オクタニオン数列の統一的公式を導入する。この研究では、Binet形式の公式、母関数、および重要な恒等式を導出し、非可換な8次元代数における3階線形漸化式に基づく枠組みの下で、フィボナッチ、ペル、ヤコブスティャールのオクタニオン数列といった既知の数列を統合する。

ABSTRACT

Various families of octonion number sequences (such as Fibonacci octonion, Pell octonion and Jacobsthal octonion) have been established by a number of authors in many different ways. In addition, formulas and identities involving these number sequences have been presented. In this paper, we aim at establishing new classes of octonion numbers associated with the generalized Tribonacci numbers. We introduce the Tribonacci and generalized Tribonacci octonions (such as Narayana octonion, Padovan octonion and third-order Jacobsthal octonion) and give some of their properties. We derive the relations between generalized Tribonacci numbers and Tribonacci octonions.

研究の動機と目的

• トリボナッチ数の概念をオクタニオン代数へ一般化し、既知の数列（フィボナッチ、ペルのオクタニオン数列）を拡張する。
• 一般化されたトリボナッチ数を用いて、すべてのトリボナッチ型オクタニオン数列を統一的な枠組みで定式化する。
• 一般化されたトリボナッチオクタニオン数列に対して、閉形式表現（Binet形式の公式）と母関数を導出する。
• これらのオクタニオンの代数的および数論的性質（漸化式の恒等式、特性方程式など）を調査する。
• ナラヤナ、パドヴァン、3階ヤコブスティャールなどの多様なオクタニオン数列を、同一の代数的構造の下で統合する。

提案手法

• 3階線形漸化式 $ V_n = rV_{n-1} + sV_{n-2} + tV_{n-3} $ を用いて一般化されたトリボナッチ数を定義する。初期値は任意、パラメータは実数とする。
• 一般化されたトリボナッチオクタニオンを $ O_{v,n} = V_n e_0 + V_{n+1} e_1 + \cdots + V_{n+7} e_7 $ として構成し、数列をオクタニオン代数に埋め込む。
• 特性方程式 $ x^3 - rx^2 - sx - t = 0 $ の根 $ \alpha, \omega_1, \omega_2 $ を用いて、$ O_{v,n} $ のBinet形式の公式を導出する。
• フィボナッチクaternionに関するHoradamおよびIyerの手法をオクタニオンに適応し、根の対称関数と代数的恒等式を用いる。
• 閉形式表現と根の性質を用いて、一般化されたトリボナッチオクタニオンの母関数を導出する。
• 特性方程式とオクタニオン乗法則を操作することで漸化式の恒等式を確立し、線形漸化式と整合していることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたトリボナッチ数は、どのように一貫性のあるオクタニオン数列の族を形成できるか？
• RQ2 一般化されたトリボナッチオクタニオンの閉形式（Binet形式の公式）は何か？
• RQ3 オクタニオンの代数的性質は、これらの数列の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 どのような恒等式と母関数が一般化されたトリボナッチオクタニオン数列を特徴づけるか？
• RQ5 ヤコブスティャール、パドヴァン、ナラヤナのオクタニオン数列といった既知の数列は、この一般化枠組みの下で統合可能か？

主な発見

• 一般化されたトリボナッチオクタニオン数列に対して、統一的なBinet形式の公式が導出された：$ O_{v,n} = \frac{P\underline{\alpha}\alpha^n}{(\alpha-\omega_1)(\alpha-\omega_2)} - \frac{Q\underline{\omega_1}\omega_1^n}{(\alpha-\omega_1)(\omega_1-\omega_2)} + \frac{R\underline{\omega_2}\omega_2^n}{(\alpha-\omega_2)(\omega_1-\omega_2)} $。ここで $ P, Q, R $ は初期値と特性方程式の根によって定義される。
• 閉形式表現と根 $ \alpha, \omega_1, \omega_2 $ の性質を用いて、一般化されたトリボナッチオクタニオンの母関数が構成された。
• 漸化式の恒等式 $ \alpha^2 O_{v,n+2} + \alpha(sO_{v,n+1} + tO_{v,n}) + tO_{v,n+1} = P\underline{\alpha}\alpha^{n+2} $ が証明され、オクタニオン数列が特性方程式と関連付けられた。
• パrameter $ r=s=t=1 $、$ V_0=0, V_1=V_2=1 $ の場合、公式は古典的なトリボナッチオクタニオンに簡約され、既知の事例と整合していることが確認された。
• この枠組みにより、ナラヤナ、パドヴァン、3階ヤコブスティャールのオクタニオン数列が、同一の代数的構造の下で統合された。
• フィボナッチおよびルカスクォータニオンに関する先行研究をオクタニオンへ一般化し、Horadam-Iyerの手法を非可換な高次元代数へ拡張した。