[論文レビュー] The universal Hopf algebra associated with a Hopf-Lie-Rinehart algebra

Johannes Huebschmann|ArXiv.org|Feb 26, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、基底代数に適合するホップ代数構造を備えた、リー＝リネルト代数の一般化であるホップ＝リー＝リネルト代数の概念を導入する。この構造の普遍代数が自然にバイアルゲブラまたはホップ代数構造を備えることを証明しており、リー代数の普遍包あくり代数の古典的ホップ代数性を、より広範なリー＝リネルト設定へと拡張する。

ABSTRACT

We introduce a notion of Hopf-Lie-Rinehart algebra and show that the universal algebra of a Hopf-Lie-Rinehart algebra acquires an ordinary Hopf algebra structure.

研究の動機と目的

• リー代数の普遍包あくり代数のよく知られたホップ代数構造を、より一般なリー＝リネルト代数の設定へと拡張すること。
• リー＝リネルト代数の普遍代数が余乗法と余単位を備えるために必要な代数的条件を同定すること。
• ホップ＝リー＝リネルト代数の概念を導入し、このような構造の自然な枠組みを形式化すること。
• ココマルタントホップ代数がその原始的要素の包あくり代数であるという古典的結果を、リー＝リネルト文脈へと一般化すること。
• 基底代数上のホップ代数構造と、モジュール上のリー＝リネルト代数構造との整合性を明らかにすること。

提案手法

• ホップ＝リー＝リネルト代数への前駆けとして、両立するリー＝リネルト構造とバイアルゲブラ構造を要請する二重リー＝リネルト代数の概念を導入する。
• 基底代数 $A$ が $L$ 上の $A$-モジュール作用とリー括弧とに整合するホップ代数構造を備えたリー＝リネルト代数として、ホップ＝リー＝リネルト代数を定義する。
• テンソル代数 $T_A(L)$ を二通りの両側イデアルで割った商として、普遍代数 $\mathrm{U}(A,L)$ を構成する。生成関係は $\alpha \otimes a - a \cdot \alpha - \alpha(a)$（$\alpha \in L$, $a \in A$）である。
• テンソル代数の普遍性と $A$ および $L$ 上の対角写像を用いて、$\Delta: \mathrm{U}(A,L) \to \mathrm{U}(A,L) \otimes_A \mathrm{U}(A,L)$ として余乗法を定義する。
• 基底代数 $A$ の余単位と $L$ 上の自明な作用を用いて、$\varepsilon: \mathrm{U}(A,L) \to R$ を定義し、代数構造と整合性を持つように保証する。
• 余乗法と余単位がバイアルゲブラ公理を満たし、適切な条件下で反対称子が存在することを検証することで、ホップ代数構造が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー＝リネルト代数 $(A,L)$ の普遍代数 $\mathrm{U}(A,L)$ がホップ代数構造を備えるための条件は何か？
• RQ2 リー代数 $\mathfrak{g}$ に対して $\mathrm{U}(\mathfrak{g})$ に存在する古典的ホップ代数構造を、リー＝リネルト代数の状況へとどのように一般化できるか？
• RQ3 $\mathrm{U}(A,L)$ にバイアルゲブラまたはホップ代数構造を引き上げるため、基底代数 $A$ に追加で何の構造が必要か？
• RQ4 リー＝リネルト代数の普遍代数に、$A$-モジュール構造とリー代数構造の両方を尊重する余乗法を導入できるか？
• RQ5 双対性と有限生成射影モジュールの役割は、余乗法をホップ代数構造へと拡張する際に果たすか？

主な発見

• 基底代数 $A$ がホップ代数であるとき、ホップ＝リー＝リネルト代数 $(A,L)$ の普遍代数 $\mathrm{U}(A,L)$ は自然にバイアルゲブラ構造を備える。
• 普遍代数 $\mathrm{U}(A,L)$ 上の余乗法は、$A$ と $L$ 上の対角写像から誘導され、テンソル代数の普遍性を用いて拡張される。
• 普遍代数 $\mathrm{U}(A,L)$ 上の余単位は、$A$ の余単位と $L$ 上の自明な作用から誘導され、必要な整合性条件を満たす。
• 基底代数 $A$ がホップ代数であり、$L$ の $A$ への作用が $A$ 上の対角写像と整合するとき、得られる普遍代数 $\mathrm{U}(A,L)$ はホップ代数となる。
• この構成は、リー代数の普遍包あくり代数がココマルタントホップ代数であるという古典的結果を一般化する。
• 本稿では、双対性と有限生成射影の仮定から導かれる写像 $L \to L \otimes L$ を用いて余乗法を摂動することで、新たなバイアルゲブラ構造が得られるとの予想を提示するが、明示的な例は提示されていない。