[論文レビュー] The universal Whitham hierarchy and the geometry of the moduli space of pointed Riemann surfaces

Samuel Grushevsky, I. M. Krichever|ArXiv.org|Oct 13, 2008

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、実周期をもつメラモーフィック微分形式と調和関数の技法を用いて、普遍Whitham階層と点付きリーマン面のモジュライ空間との間の幾何的枠組みを確立する。最大原理を用いた微分形式の退化を分析することで、Diazのモジュライ空間内の完全部分多様体の次元に関する上限を新たな証明が与えられ、その極限における微分形式はノードにおける正則性によって一意に決定されることを示している。

ABSTRACT

We show that certain structures and constructions of the Whitham theory, an essential part of the perturbation theory of soliton equations, can be instrumental in understanding the geometry of the moduli spaces of Riemann surfaces with marked points. We use the ideas of the Whitham theory to define local coordinates and construct foliations on the moduli spaces. We use these constructions to give a new proof of the Diaz' bound on the dimension of complete subvarieties of the moduli spaces. Geometrically, we study the properties of meromorphic differentials with real periods, and their degenerations.

研究の動機と目的

• 点付きリーマン面のモジュライ空間の幾何を理解するために、元来ソリトン方程式に用いられたWhitham理論を応用すること。
• 可積分系の構造を用いて、モジュライ空間における局所座標およびfoliationを定義すること。
• 曲線のモジュライ空間における完全部分多様体の次元に関するDiazの上限を新たな証明すること。
• 実周期をもつメラモーフィック微分形式の退化とその安定還元における挙動を研究すること。
• 可積分系の代数幾何的解とモジュライ空間のコンパクト化との間の関係を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、標識付き曲線のモジュライ空間上のバンドルの全空間に特別な代数的軌道を構成するために、普遍Whitham階層を用いる。
• 所定の二重極と実周期をもつメラモーフィック微分形式を定義し、正規化のもとで安定曲線上ではそれが一意に定まることを示す。
• この手法は、これらの微分形式の積分の虚部に最大原理を適用することで、退化においても有界性を保証する。
• 退化する曲線族上の調和関数の極限を分析することで、極限微分形式がノードで正則でなければならないことを示す。
• コンパクトリーマン面上の有界な調和関数は定数であるという事実を用い、極限微分形式が標準的正則微分形式と一致することを強制する。
• 複素極限線形系列の道具を避けるために、調和関数の実解析的性質と境界挙動に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍Whitham階層を用いて、点付きリーマン面のモジュライ空間に座標やfoliationのような幾何的構造を定義する方法は何か？
• RQ2 底面の曲線の退化において、実周期をもつメラモーフィック微分形式の挙動はいかなるものか？
• RQ3 調和関数の最大原理を用いて、コンパクト化されたモジュライ空間におけるこのような微分形式の極限を制御できるか？
• RQ4 実周期と二重極をもつ微分形式の極限がノードで単純極を獲得しないのはなぜか？（特に、第3種微分形式の場合はそうならないのに。）
• RQ5 このアプローチは、なぜモジュライ空間における完全部分多様体の次元に関するDiazの上限を新たな証明に導くのか？

主な発見

• 点に二重極をもつ実周期をもつメラモーフィック微分形式の極限は、安定還元におけるノードでの正則性によって一意に決定され、単純極を獲得しない。
• 極の近傍の補集合上で最大原理を適用することで、このような微分形式の積分の虚部は退化においても有界のままである。
• この有界性は、極限微分形式がノードで正則でなければならないことを示し、正規化を越えて一意に拡張可能であることを意味する。
• この手法により、曲線のモジュライ空間における完全部分多様体の次元に関するDiazの上限に対する幾何的で新たな証明が得られる。
• この結果は、退化の複雑さや極限線形系列の構造に依存せず、調和関数論にのみ依存する。
• 第3種微分形式に対しては、同様の議論が失敗する理由は、二つの極の近傍で最大値と最小値が別々に現れ得るため、極限で単純極が出現しうるからである。