[論文レビュー] The variance of the number of sums of two squares in $\mathbb{F}_q[T]$ in short intervals

Ofir Gorodetsky, Brad Rodgers|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{F}_q[T]$ 内の多項式が短区間内で2つの平方数の和として表される個数の分散を研究し、関数体の類似を通じて $z$-測度と関連づける。 Katz と Sawin の等分布結果を用いて、$q$ が非常に大きい極限における分散の正確な漸近公式を導出し、整数の場合の予想を提示。この予想は数値データと非常によく一致する。

ABSTRACT

Consider the number of integers in a short interval that can be represented as a sum of two squares. What is an estimate for the variance of these counts over random short intervals? We resolve a function field variant of this problem in the large $q$ limit, finding a connection to the $z$-measures first investigated in the context of harmonic analysis on the infinite symmetric group. A similar connection to $z$-measures is established for sums over short intervals of the divisor functions $d_z(n)$. We use these results to make conjectures in the setting of the integers which match very well with numerically produced data. Our proofs depend on equidistribution results of N. Katz and W. Sawin.

研究の動機と目的

• 関数体 $\mathbb{F}_q[T]$ 内の多項式が短区間内で2つの平方数の和として表される個数の分散を理解すること。
• 整数環 $\mathbb{Z}$ 上での短区間内における2平方和の古典的問題の関数体類似を確立すること。
• この関数体設定における分散を、無限対称群上の調和解析に現れる $z$-測度と関連づけること。
• 深いついだ等分布定理を用いて、$q$ が非常に大きい極限における分散の漸近公式を導出すること。
• 関数体の結果に基づき、整数の場合の予想を提示し、数値データによって検証すること。

提案手法

• 関数体の類似において $\mathbb{F}_q[T]$ が $\mathbb{Z}$ の役割を果たすことを踏まえ、2平方和として表される多項式の集合 $S = \{A^2 + T B^2 : A,B \in \mathcal{M}_q\}$ をモデル化する。
• $f \in \mathcal{M}_q$ に対して、$f$ が2平方和であるとき1、それ以外は0となる指示関数 $b(f)$ を定義する。
• N. Katz と W. Sawin の等分布結果を応用し、$\mathbb{F}_q[T]$ 内の短区間における $b(f)$ の分散を分析する。
• 線積分とディリクレ級数を用いて、特に $q$ が非常に大きい極限における分散の漸近的表現を導出する。
• 分散の母関数を分析し、そのスペクトル構造を特定することで、分散を $z$-測度と関連づける。
• 関数体の結果を類推して整数の場合の予想を導出し、区間サイズ $X^\delta$ の短区間における分散が $K \cdot G(1-\delta)$ に従うと予測する。ここで $G$ は $z$-測度に関連する関数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体 $\mathbb{F}_q[T]$ 内の短区間（長さ $H$）における2平方和として表される多項式の個数の漸近的分散は何か？
• RQ2 この分散は、無限対称群上の調和解析に現れる $z$-測度とどのように関係するか？
• RQ3 関数体の結果を用いて、整数環 $\mathbb{Z}$ 上の短区間における2平方和の分散についての予想を立てられるか？
• RQ4 なぜ、$\delta$ が0から離れている範囲では、予想1が予測するポisson的挙動とは異なる分散が観測されるのか？
• RQ5 $\delta \to 0$ のとき、区間サイズ $X^\delta$ の分散における低次の項の役割は何か？

主な発見

• 関数体 $\mathbb{F}_q[T]$ 内の長さ $H = X^\delta$ の短区間における2平方和の個数の分散は、$q \to \infty$ のとき、$K_q \cdot G(1 - \delta) \cdot H / \sqrt{\log X}$ に漸近的に近づく。ここで $G$ は $z$-測度に関連する関数である。
• 区間長 $\delta$ が0から離れている範囲では、関数体設定における分散は非ポアソン的構造を示し、$z$-測度が $\delta$ に依存する分散の依存関係を正確に記述する。
• 著者らは整数の場合の予想を導出し、区間サイズ $X^\delta$ における分散が $K \cdot G(1 - \delta)$ に従うと予測する。この予想は数値データと極めてよく一致する。
• 素数 $p$ に対して $X/2 < p < X$ であるとき、分散 $\mathbb{V}_b(X,p)$ は $K + \frac{-K^2 X^\delta + 1 - X^{-\delta}}{\sqrt{\log X}} + O(1/\log X)$ に等しいことが示され、$\delta$ が小さい場合の数値データにおける隆起を説明する。
• $z$-測度との関係は、ハーディ＝リトルウッドの予想によるヒューリスティック的根拠ではなく、関数体解析と等分布定理から直接導かれる。
• この結果は、短区間のサイズが $\sqrt{\log X}$ より大きい場合、2平方和の分布に対するポアソン的ヒューリスティックが崩れることを示唆し、$z$-測度がより洗練されたモデルを提供する。