[論文レビュー] The Voisin map via families of extensions

Huachen Chen|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、平面を含まない立方四次超曲面 $ Y $ に対して、Voisin写像 $ v: F(Y) \times F(Y) \dashrightarrow Z(Y) $ を、交わる直線の集合 $ \Gamma \subset F(Y) \times F(Y) $ の blown-up によって不定性を解消することにより解決する。非常に一般の $ Y $ に対して、この blown-up は $ Z(Y) $ 上の相対 Quot 棧であり、Kuznetsov の圏における商をパラメトライズする。これは、導来圏における拡張の族を通じた Voisin 写像のモジュライ的解釈を提供する。

ABSTRACT

We prove that given a cubic fourfold $Y$ not containing any plane, the Voisin map $v: F(Y) imes F(Y) \dashrightarrow Z(Y)$ constructed in \cite{Voi}, where $F(Y)$ is the variety of lines and $Z(Y)$ is the Lehn-Lehn-Sorger-van Straten eightfold, can be resolved by blowing up the incident locus $Γ\subset F(Y) imes F(Y)$ endowed with the reduced scheme structure. Moreover, if $Y$ is very general, then this blowup is a relative Quot scheme over $Z(Y)$ parametrizing quotients in a heart of a Kuznetsov component of $Y.$

研究の動機と目的

• Voisin 写像 $ v: F(Y) \times F(Y) \dashrightarrow Z(Y) $ を、直線が交わる場所である $ \Gamma $ で定義されない問題を解消すること。
• Bridgeland の安定性条件を用いて、Kuznetsov 圏 $ Ku(Y) $ 内の非自明な拡張の族を通じて、Voisin 写像を幾何学的に解釈すること。
• $ F(Y) \times F(Y) $ を $ \Gamma $ に沿って blown-up したものが、写像を解消することを示し、非常に一般の $ Y $ に対して、この blown-up が $ Z(Y) $ 上の相対 Quot 棧として実現されることを示すこと。

提案手法

• 導来圏の分解 $ D^b(Y) = \langle Ku(Y), \mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y(1), \mathcal{O}_Y(2) \rangle $ を用い、$ Y $ の幾何を支配する Kuznetsov の成分 $ Ku(Y) $ に注目する。
• Bridgeland の安定性条件 $ \sigma $ に関して、$ F(Y) $ と $ Z(Y) $ を $ Ku(Y) $ 内の安定対象のモジュライ空間として実現する。それぞれのクラスは $ \lambda_1 $、$ \lambda_1 + \lambda_2 $、および $ 2\lambda_1 + \lambda_2 $ である。
• 導来ホモロジー関手 $ R\mathcal{H}om_f $ を用いて、普遍的ファミリー $ \mathcal{P} $ と $ \mathcal{F} $ の非自明な拡張のファミリーの関手を構成し、$ \text{Hom}(\mathcal{O}_T, Lg^* R\mathcal{H}om_f(\mathcal{P}, \mathcal{F})[1]) $ を通じて基底変換の整合性を保証する。
• このような拡張の関手が、$ \text{Bl}_\Gamma(M_\sigma(\lambda_1) \times M_\sigma(\lambda_1 + \lambda_2)) $ によって代表されることを示し、Voisin 写像が解消されることを示す。
• グローバルな拡張に対して基本的変形を施し、常に非自明なファミリーを構成することで、普遍的商を得る。これにより、 blown-up が $ Z(Y) $ 上の相対 Quot 棧として実現される。
• 導来 Torelli 定理および格子論的結果を用いて、$ Y $ がホッジ特異な場合を分析し、非常に一般でない場合でも写像の次数が 6 のまま維持されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Voisin 写像 $ v: F(Y) \times F(Y) \dashrightarrow Z(Y) $ は、定義域の幾何的変形によって解消可能か？ もし可能であれば、どのような変形か？
• RQ2 $ F(Y) \times F(Y) $ を交わる直線の集合 $ \Gamma $ に沿って blown-up したものは、Voisin 写像の自然なコンパクト化であり、モジュライ的解釈をもつのか？
• RQ3 非常に一般の立方四次超曲面に対して、解消された Voisin 写像は $ Z(Y) $ 上の相対 Quot 棧と同型であり、そのパラメトライズする対象のクラスは何か？
• RQ4 $ Y $ が非常に一般でない場合、Voisin 写像の次数は 6 のまま維持されるか？ これは導来的または格子論的計算で説明可能か？

主な発見

• Voisin 写像 $ v: F(Y) \times F(Y) \dashrightarrow Z(Y) $ は、交わる直線の集合 $ \Gamma \subset F(Y) \times F(Y) $ を blown-up することによって解消される。
• Blown-up $ \text{Bl}_\Gamma(F(Y) \times F(Y)) $ は、$ Ku(Y) $ 内の安定対象（クラス $ \lambda_1 $ および $ \lambda_1 + \lambda_2 $）の非自明な拡張のファミリーのモジュライ空間と同型であり、そのクラスは $ 2\lambda_1 + \lambda_2 $ を与える。
• 非常に一般の $ Y $ に対して、blown-up は $ Z(Y) $ 上の相対 Quot 棧であり、Kuznetsov 圏の心 $ \mathcal{A} $ 内でクラス $ \lambda_1 + \lambda_2 $ の商をパラメトライズする。
• 解消写像 $ q: \text{Bl}_\Gamma(F(Y) \times F(Y)) \to Z(Y) $ は全射であり、次数 6 である。これは Voisin の元々の構成と整合的である。
• ホッジ特異な場合 $ Y \in \mathcal{C}_d $ においても、次数は 6 のまま維持される。これは、ヒルベルトスキーム $ S^{[2]} $ 上のタウトロジカルバンドル $ V^{[2]} $ の上位チャーン類 $ c_4(V^{[2]}) $ を計算することで示され、2 点の理想層への 6 つの全射が得られる。
• 本構成は、基底変換の整合性を保証する $ \text{Hom}(\mathcal{O}_T, Lg^* R\mathcal{H}om_f(\mathcal{P}, \mathcal{F})[1]) $ を用いた、拡張のファミリーの精緻な関手に依存している。これにより、モジュライ的解釈が可能になる。