[論文レビュー] The weak specification property for geodesic flows on CAT(-1) spaces

David Constantine, Jean‐François Lafont+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、コンパクトで局所的に CAT(-1) な空間上の測地線流に対して弱仕様性を確立し、任意の Hölder 継続的ポテンシャルが一意な平衡状態を持ち、それがギブズ性および大偏差原理を満たすことを証明する。幾何的考察と弱仕様性を有する拡張的流れに対する解析的技法を組み合わせることで、著者たちは一様に双曲的でない系に限らない、より広い非正曲率の距離空間への古典的熱力学的形式主義の結果の拡張を達成する。

ABSTRACT

We prove that the geodesic flow on a compact locally CAT(-1) space has the weak specification property, and give various applications. We show that every Hölder potential on the space of geodesics has a unique equilibrium state. We establish the equidistribution of weighted periodic orbits and the large deviations principle for all such measures. The thermodynamic results are proved for the class of expansive flows with weak specification.

研究の動機と目的

• 一様に双曲的系においては既知であった熱力学的形式主義の結果を、コンパクトで局所的に CAT(-1) な空間上の測地線流へと拡張すること。
• 幾何的および位相的道具を用いて、このような空間上の測地線流に対して弱仕様性を確立すること。
• 測地線流空間上の任意の Hölder ポテンシャルが一意な平衡測度を持ち、それがギブズ性および大偏差性質を満たすことを証明すること。
• 最大エントロピー測度が一意的であり、大偏差原理を満たすことを示すこと。
• 軌道同相な CAT(-1) 流に同値な特定の CAT(0) 空間において弱仕様性が成り立つことを示し、他の空間における障害を同定すること。

提案手法

• Gromov よりも、および Coornaert-Papadopoulos よりも、測地線流と有限型の部分シフト上のサスペンション流との間の軌道半同値関係を用いる。
• CAT(-1) 空間における測地線の幾何的性質を活用し、記号的モデルからの「押し下げ」によって弱仕様性を証明する。
• 拡張的流れに弱仕様性を有する解析的技法を適用し、エルゴード測度のエントロピー密度および変分原理に依存する。
• 時間1写像の還元とギブズ不等式による球の測度の上界・下界を用いて、平衡測度のギブズ性を確立する。
• エントロピーの下半連続性およびエルゴード測度のエントロピー密度を用いて、上界・下界を検証することで、大偏差原理を証明する。
• Katok のエントロピー公式および Birkhoff のエルゴード定理を用いて、制御された軌道平均を持つ分離集合を構成し、測度の下界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで局所的に CAT(-1) な空間上の測地線流は弱仕様性を満たすか？
• RQ2 記号的ダイナミクスを用いずに、CAT(-1) 空間上の測地線流に対して Hölder ポテンシャルの熱力学的形式主義を拡張可能か？
• RQ3 このような流れ上の任意の Hölder ポテンシャルの平衡測度は一意的であり、ギブズ性を満たすか？
• RQ4 重み付き周期軌道は、CAT(-1) 測地線流において平衡測度に等分配するか？
• RQ5 この設定において、最大エントロピー測度は大偏差原理を満たすか？

主な発見

• 非巡回基本群をもつコンパクトで局所的に CAT(-1) な空間上の測地線流は、弱仕様性を満たす。
• 測地線流空間上の任意の Hölder 継続的ポテンシャルは一意な平衡測度を持つ。
• 平衡測度は、流れ全体にわたって一様な定数を用いたギブズ性を満たす。
• 測地線流の重み付き周期軌道は、平衡測度に等分配する。
• エルゴード測度の空間は、不変確率測度の空間においてエントロピー稠密である。
• 平衡測度は大偏差原理を満たし、エントロピー密度およびギブズ推定を用いて上界・下界が両方確立されている。