[論文レビュー] The word and conjugacy problems in lacunary hyperbolic groups

Arman Darbinyan|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、lacunary hyperbolic groups (LHG) における語問題の決定可能性について、必要十分条件を確立し、階層的 small cancellation 理論に基づく枠組みを構築することで、語問題および共役問題を非常に制御可能な形で持つLHGの構成を試みる。任意の再帰的可算言語 $\Sigma$ に対して、$\Sigma$ における属 membership 問題が、共役問題とほぼ線形時間で同等であるLHGが存在することを示し、また、ほぼ線形時間で解ける語問題と決定不能な個々の共役問題をもつLHGの構成、さらに、効率的に決定可能な語問題および共役問題をもつ無限大の語的に完全かつねじれなしTarskiの怪物群の構成も行う。

ABSTRACT

We study the word and conjugacy problems in lacunary hyperbolic groups (briefly, LHG). In particular, we describe a necessary and sufficient condition for decidability of the word problem in LHG. Then, based on the graded small-cancellation theory of Olshanskii, we develop a general framework which allows us to construct lacunary hyperbolic groups with word and conjugacy problems highly controllable and flexible both in terms of computability and computational complexity. As an application, we show that for any recursively enumerable subset $\mathcal{L} \subseteq \mathcal{A}^*$, where $\mathcal{A}^*$ is the set of words over arbitrarily chosen non-empty finite alphabet $\mathcal{A}$, there exists a lacunary hyperbolic group $G_{\mathcal{L}}$ such that the membership problem for $ \mathcal{L}$ is `almost' linear time equivalent to the conjugacy problem in $G_{\mathcal{L}}$. Moreover, for the mentioned group the word and individual conjugacy problems are decidable in `almost' linear time. Another application is the construction of a lacunary hyperbolic group with `almost' linear time word problem and with all the individual conjugacy problems being undecidable except the word problem. As yet another application of the developed framework, we construct infinite verbally complete groups and torsion free Tarski monsters, i.e. infinite torsion-free groups all of whose proper subgroups are cyclic, with `almost' linear time word and polynomial time conjugacy problems. These groups are constructed as quotients of arbitrarily given non-elementary torsion-free hyperbolic groups and are lacunary hyperbolic. Finally, as a consequence of the main results, we answer a few open questions.

研究の動機と目的

• lacunary hyperbolic群における語問題の決定可能性を特徴づけること。
• 語問題および共役問題の計算的複雑性を制御可能な一般枠組みを構築すること。
• 特定のLHGにおける共役問題が、任意の再帰的可算言語の属 membership 問題とほぼ線形時間で同等であることを示すこと。
• 語問題および共役問題が効率的に決定可能な無限大の語的に完全かつねじれなしTarskiの怪物群を構築すること。

提案手法

• Olshanskiiの階層的small cancellation理論を活用し、制御されたキャンセル条件を満たす双曲群の鎖を構築すること。
• 共役ダイアグラムの解析と時間計算量の推定に用いる $(\lambda,c,\epsilon,\eta)$-巡回還元アルゴリズムを導入すること。
• 平面のvan Kampenダイアグラムおよびスレンド共役ダイアグラムを用いて、群の元の幾何的性質およびその共役性を分析すること。
• パスおよびセルの長さをバウンドするために最低パrameter原理（LPP）を適用し、アルゴリズムの効率性を保証すること。
• 共役問題の有効性を保証するための条件 $C'(\mathcal{TM},(g_i),({\rho}_i))$ を満たすlacunary hyperbolic群の部分クラスを定義すること。
• 所望の構造的およびアルゴリズム的性質を達成するために、非自明なねじれなし双曲群の商として群を構築すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 lacunary hyperbolic群における語問題が決定可能であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 lacunary hyperbolic群における共役問題は、任意の再帰的可算言語の属 membership 問題とほぼ線形時間で同等にできるか？
• RQ3 語問題がほぼ線形時間で解けるが、すべての個々の共役問題が決定不能（語問題を除く）であるlacunary hyperbolic群を構築することは可能か？
• RQ4 語問題および共役問題が効率的に決定可能な無限大の語的に完全またはねじれなしTarskiの怪物群をlacunary hyperbolic群として構築することは可能か？
• RQ5 階層的small cancellationは、このような群における語問題および共役問題の計算的複雑性をどのように制御できるか？

主な発見

• 任意の再帰的可算部分集合 $\mathcal{L} \subseteq \mathcal{A}^*$ に対して、$\mathcal{L}$ における属 membership 問題が、$G_{\mathcal{L}}$ における共役問題とほぼ線形時間で同等であるようなlacunary hyperbolic群 $G_{\mathcal{L}}$ が存在する。
• $G_{\mathcal{L}}$ において、語問題および個々の共役問題の両方がほぼ線形時間で決定可能である。
• 語問題がほぼ線形時間で解けるが、すべての個々の共役問題が決定不能（語問題を除く）であるlacunary hyperbolic群が存在する。
• 無限大の語的に完全な群およびねじれなしTarskiの怪物群は、lacunary hyperbolic群として構築可能であり、それぞれ語問題はほぼ線形時間、共役問題は多項式時間で決定可能である。
• 本フレームワークは、small cancellationおよび双曲性の文脈において、このような群が制御されたアルゴリズム的複雑性をもつことの存在に関する未解決問題を解決する。