[論文レビュー] The Yang-Mills gradient flow and renormalization

Alberto Ramos|arXiv (Cornell University)|May 30, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、格子規範理論における複合演算子の非摂動的正規化およびスケールに依存する有限な結合定数の定義に、ヤン・ミルズ勾配フローを応用するものである。拡散に類似したフロー方程式によってゲージ場を発展させることで、UV発散が自然に抑制され、フロー量の連続極限が可能となり、小フロータイム展開による非摂動的正規化が可能になる。

ABSTRACT

In this proceedings contribution we will review the main ideas behind the many recent works that apply the gradient flow to the determination of the renormalized coupling and the renormalization of composite operators. We will pay special attention to the continuum extrapolation of flow quantities.

研究の動機と目的

• 格子規範理論における複合演算子の非摂動的正規化のためのヤン・ミルズ勾配フローの体系的応用を図ること。
• 特に格子誤差とカットオフ効果を制御する中で、フローに基づく観測量の連続極限に直面する課題に対処すること。
• 小フロータイム展開を、混合パターンと正規化行列要素を決定する一般枠組みとして探求すること。
• 正のフロータイムにおけるエネルギー密度を用いて、スケール設定と結合定数の進行を可能にする、堅牢で有限な正規化結合定数を確立すること。
• 境界条件がカットオフ効果に与える影響と、非並進不変なスキームにおける境界補正項の必要性を検討すること。

提案手法

• 初期条件 $ B_{\mu}(x,0) = A_{\mu}(x) $ を持つ勾配フロー方程式 $ \frac{dB_{\mu}}{dt} = D_{\nu}G_{\nu\mu} $ を適用し、$ \sqrt{8t} $ の領域にわたってゲージ場をなめらかにする。これによりUV発散が除去される。
• スケール $ \sqrt{8t} $ に依存する有限で正規化された観測量として、$ t > 0 $ におけるエネルギー密度 $ \langle E(x,t) \rangle = -\frac{1}{2}\langle \mathrm{Tr} G_{\mu\nu}G_{\mu\nu} \rangle $ を用いる。
• 連続極限で有限でスケールに依存する結合定数を保証するため、$ g_{\rm GF}^2(\mu) = \frac{16\pi^2}{3} t^2 \langle E(x,t) \rangle \big|_{t = 1/(8\mu^2)} $ により進行結合定数を定義する。
• 有限サイズスケーリングを $ \mu = 1/(cL) $ により実装し、カットオフ効果を制御した有限体積格子上での結合定数 $ g_{\rm GF}^2(L) $ の定義を可能にする。
• 短時間挙動と正規化された演算子との関係を抽出するため、小フロータイム展開 $ E(x,t) = \sum_{\alpha} c_{\alpha}(t) \{O^{\alpha}\}_R(x) + \mathcal{O}(t) $ を用いる。
• 摂動論的初期条件を用いて、連結相関関数から抽出される $ \gamma_{\alpha}(t) = -2t \frac{d}{dt} \log c_{\alpha}(t) $ を用いて、非摂動的に係数 $ c_{\alpha}(t) $ を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤン・ミルズ勾配フローを用いて、格子規範理論における有限で正規化された結合定数をどのように定義できるか？
• RQ2 フローに基づく観測量における支配的カットオフ効果は何か？ 連続極限においてそれらをどのように制御できるか？
• RQ3 小フロータイム展開は、複合演算子と正規化された局所演算子との混合をどの程度正確に記述できるか？
• RQ4 境界条件は、勾配フローに基づく計算におけるスケーリング挙動とカットオフ効果にどのように影響を与えるか？
• RQ5 小フロータイム係数の非摂動的決定は、格子QCDにおける行列要素計算の精度を向上させることができるか？

主な発見

• エネルギー密度 $ \langle E(x,t) \rangle $ は $ t > 0 $ で有限であり、摂動的展開 $ \langle E(t) \rangle = \frac{3}{16\pi^2 t^2} g_{\overline{MS}}^2(\mu) \left[1 + c_1 g^2_{\overline{MS}}(\mu) + \mathcal{O}(g^4) \right] $ を持つため、有限な結合定数の定義が可能になる。
• $ \mu = 1/(cL) $ と $ t = 1/(8\mu^2) $ を用いて定義される結合定数 $ g_{\rm GF}^2(L) $ は、自然に有限体積に依存し、スケール設定と進行結合定数の決定を可能にする。
• 周期的境界条件およびねじれ境界条件は並進不変性を保ち、シュレーディンガー関数型やオープン-SFスキームとは異なり、$ \mathcal{O}(a) $ カットオフ効果を避ける。後者では追加の境界補正項が必要となる。
• 小フロータイム展開 $ E(x,t) = c_1(t) \mathbf{1} + c_2(t) \{F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}\}_R(x) + \mathcal{O}(t) $ を用いることで、$ t \to 0 $ の極限において正規化されたエネルギー運動量テンソル $ \{T_{\mu\mu}\}_R(x) = c_2^{-1}(t) \left( E(x,t) - \langle E(x,t) \rangle \right) $ を抽出できる。
• $ \gamma_2(t) = -2t \frac{d}{dt} \log \langle E(x,t)E(x,s) \rangle_{\rm connected} + \mathcal{O}(t) $ は相関関数から抽出可能であり、これにより $ c_2(t) $ の非摂動的決定が可能になり、非摂動的正規化が実現される。
• 核子の奇妙成分は $ O^{\rm sub}(x,t) = c_3(t) O^{\rm sub}(x,0) + \mathcal{O}(t) $ を用いて計算され、$ c_3(t) $ はワード恒等式から決定された。これにより、この手法がハドロン行列要素への応用可能性が示された。