[論文レビュー] Theories with EF-Equivalent Non-Isomorphic Models

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2007

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、同一の非可算基数の非同型モデルが、すべての $\alpha < \lambda$ に対して EF$^{+}_{\alpha,\lambda}$-同値であるような一階理論 $T$ を調査している。これは、同型でないにもかかわらず高い構造的類似性を示すものである。強安定でない理論 $T$ に対して、特に $\aleph_0$-独立（強く依存的でない）理論において、このような「太った」理論の存在の整合性を、強力な道具である強制法とモデル理論的技法を用いて確立し、分類理論における主なギャップ二分法を、より広い非安定理論のクラスへと拡張している。

ABSTRACT

Our "long term and large scale" aim is to characterize the first order theories T (at least the countable ones) such that: for every ordinal alpha there lambda,M_1,M_2 such that M_1,M_2 are non-isomorphic models of T of cardinality lambda which are EF_{alpha, lambda}-equivalent. We expect that as in the main gap we get a strong dichotomy, so in the non-structure side we have stronger, better examples, and in the structure side we have a parallel of [Sh:c,XIII]. We presently prove the consistency of the non-structure side for T which is aleph_0-independent (= not strongly dependent), even for PC(T_1, T).

研究の動機と目的

• 非可算基数 $\lambda$ の非同型モデルが、すべての $\alpha < \lambda$ に対して EF$^{+}_{\alpha,\lambda}$-同値であるような一階理論 $T$ を特徴づけること。これは、同型に至らないが構造的類似性の一種を示している。
• 分類理論における主なギャップ二分法を拡張し、このような EF$^{+}$-同値な非同型モデルが存在する条件を同定すること。特に、非構造的側面に焦点を当てる。
• 強制法を用いて、$\aleph_0$-独立（強く依存的でない）理論において、このようなモデルの存在の整合性を確立すること。これは $\mathrm{PC}(T_1,T)$-クラスの文脈においても成り立つ。
• Ehrenfeucht-Fraïsséゲームのより強いバージョン（EF$^{+}$）を提示し、モデル理論的複雑性における「太さ」の概念をよりよく捉えるようにし、単純なケースを除外する。

提案手法

• 古典的な EF$^{\alpha,\lambda}$-同値を強化した、Ehrenfeucht-Fraïsséゲームの洗練されたバージョン、EF$^{+}_{\alpha,\lambda}$ を導入し、構造的複雑性をより鋭く検出できるようにする。
• 理論 $T$ のモデルを構成するため、$\mu$-完全なクラス強制法 $\mathbb{P}$ を適用し、特に $T$ が強く安定でない場合に、EF$^{+}_{\alpha,\lambda}$-同値だが非同型なモデルを得る。
• $\kappa$-候補と $\Upsilon^{\omega_1\text{-tr}}_{\kappa}$-証拠の概念を用いて、不安定性（unsupersaturation）をエンコードし、強制の下でモデル理論的性質へと移行させる。
• 文献 [HySh:529] および [Sh:c] の結果を応用し、このようなモデルの存在が、特定の擬初等的クラスにおける分類の失敗と同値であることを示す。
• $\mathrm{PC}(T_1,T)$、すなわち $T$-飽和な $T_1$ のモデルのクラスを用いて、初等的クラスを超える一般化を達成する。
• 第4節のZFC結果に依拠し、正則な $\lambda$ に対して、EF$^{+}_{\lambda \times \kappa, \lambda, \lambda^+}$-同値性が $\kappa = \mathrm{cf}(\kappa) < \kappa(T)$ のとき、非同型性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一階理論 $T$ が、非可算基数 $\lambda$ の非同型モデルをもち、すべての $\alpha < \lambda$ に対して EF$^{+}_{\alpha,\lambda}$-同値であるような条件は何か？
• RQ2 強く安定でない、あるいは強く依存的でない理論において、このような EF$^{+}$-同値な非同型モデルの存在が、整合的に確立可能か？
• RQ3 新しい EF$^{+}$-同値関係は、古典的な EF-同値関係に比べて、モデル理論的複雑性をどのように洗練して捉えているか？
• RQ4 強制法は、特に $T$ が $\aleph_0$-独立または DOP/OTOP を持つ場合に、このようなモデルを構成するために果たす役割は何か？
• RQ5 このようなモデルが存在するのは、$T$ が超安定で、NDOP かつ NOTOP を満たすときであるという、モデル理論的複雑性における二分法が成り立つか？

主な発見

• 理論 $T$ が強く安定でない場合、$\mu$-完全な強制による一般化拡張において、$T$ は「太い」性質をとる。具体的には、任意に大きな $\lambda$ に対して、$\lambda$ の濃度の EF$^{+}_{\alpha,\lambda}$-同値な非同型モデルをもつ。
• 任意の $\mu = \mu^{<\mu} > |T|$ に対して、$\mu$-完全な強制法 $\mathbb{P}$ が存在し、$\mathbb{V}^\mathbb{P}$ において $T$ は、$\mathrm{PC}(T_1,T)$-クラスの文脈においても、整合的に太くなる。
• この結果は、$\aleph_0$-独立理論（すなわち強く依存的でない理論）および DOP や OTOP を持つ理論に対しても成り立ち、これらは既知の不安定理論である。
• ZFCにおいて、正則な $\lambda > |T|$ に対して、$\kappa = \mathrm{cf}(\kappa) < \kappa(T)$ のとき、$\mathrm{PC}(T_1,T)$ 内に、$\lambda^+$ の濃度の EF$^{+}_{\lambda \times \kappa, \lambda, \lambda^+}$-同値な非同型モデルが存在する。特に $T$ が不安定な場合に成り立つ。
• ZFCにおいて、$\kappa \geq 2^{\aleph_0}$ のとき、$\lambda$ における分類の成立と、EF$^{+}$-同値な非同型モデルの非存在との同値性が確立された。これは、分類の失敗が、このようなモデルの存在を示唆している。
• 本論文は、超安定で、NDOP かつ NOTOP を満たすことは、$\lambda^+$ における EF$^{+}$-同値な非同型モデルの非存在と同値であることを示し、主なギャップ枠組みにおける同値関係の完結を達成した。