[論文レビュー] Thermalisation of a quantum system from first principles

Grégoire Ithier, Florent Benaych-Georges|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、環境の初期熱平衡を仮定せずに、大規模な閉じた複合系におけるユニタリ時間発展から、量子系における熱平衡が普遍的に生じることを示している。測度濃縮と裸ハミルトニアンとドレストハミルトニアンの固有状態間の重なり統計を用いて、一般化されたカノニカル分配関数を導出し、部分系の混合密度行列が長時間極限でカノニカル状態に収束することを示している。典型的な巨視的条件下ではボルツマン分布が回復される。

ABSTRACT

Why is thermalisation a universal phenomenon? How does a quantum system reach thermodynamical equilibrium? These questions are not new, dating even from the very birth of quantum theory and have been the subject of a renewed interest over the two last decades (see for instance the review in Eisert et al, Nature Physics 2015). In this work, we propose a universal model demonstrating that thermalisation of a small quantum system is an emergent property of the unitary evolution under a Schrödinger equation of a larger composite system, whose initial state can be arbitrary. We show that the origin of universality lies in the phenomenon of 'measure concentration', which provides self-averaging properties for the reduced density matrix characterizing the state of the small subsystem. Using our framework, we focus on the asymptotic state at long times and consider its stationary properties. In typical macroscopic conditions, we recover the canonical state and the Boltzmann distribution well known from statistical thermodynamics. This findings lead us to propose an alternative and more general definition of the canonical partition function which also allow us to describe non thermal stationary states.

研究の動機と目的

• 環境の初期熱平衡を仮定せずに、量子熱平衡を第一原理から導出すること。
• エラゴード性と粗視化の代わりに測度濃縮を用いることで、量子統計力学の基礎的問題を解決すること。
• 熱的および非熱的定常状態を記述できる一般化されたカノニカル分配関数を導出すること。
• 高次元ヒルベルト空間における典型性により、部分系の混合密度行列が自己平均化してカノニカル状態に収束することを示すこと。

提案手法

• 小規模な量子系 S と環境 E を、総ハミルトニアン H = H_s + H_e + W で記述される閉じた複合系としてモデル化する。
• ユニタリ時間発展 U_t = exp(-iHt/ħ) を用いて、全系の密度行列 ϱ(t) の時間発展を記述する。
• 部分系の状態を記述するため、混合密度行列 ϱ_s(t) = Tr_E[ϱ(t)] を計算する。
• 測度濃縮を用いて、ϱ_s(t) が初期状態に依存しない典型的挙動に集中することを示す。
• 裸ハミルトニアン (H_s + H_e) の固有状態とドレストハミルトニアン (H_s + H_e + W) の固有状態の間の重なり統計を分析し、自己平均化性を導出する。
• 環境と複合系の状態密度の比から、一般化されたカノニカル分配関数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 環境の初期熱平衡を仮定せず、ユニタリ時間発展から量子系における熱平衡を導出できるか？
• RQ2 測度濃縮は、部分系の混合密度行列における典型性の出現にどのように寄与するか？
• RQ3 任意の初期状態を持つ閉じた量子系において、第一原理からカノニカル集合をどのように導出できるか？
• RQ4 非熱的定常状態を含む一般化されたカノニカル分配関数の一般的な形は何か？
• RQ5 環境と複合系の状態密度の比は、部分系の定常状態をどのように決定するか？

主な発見

• 部分系の混合密度行列 ϱ_s(t) は測度濃縮により典型値に集中し、高次元ヒルベルト空間における自己平均化を保証する。
• ϱ_s に対する相互作用 W に関する勾配のノルムは √(2τ² dim H_s) で有界であり、安定性と濃縮性が証明される。
• 環境と複合系の状態密度の比から、一般化されたカノニカル分配関数が導出される。
• 典型的な巨視的条件下では、部分系の定常状態はカノニカル集合に収束し、ボルツマン分布が回復される。
• 導出は、環境の熱平衡を仮定せず、複合系の任意の初期状態に対して成立する。
• このフレームワークにより、一般化された分配関数を用いて、熱的および非熱的定常状態の両方を記述できる。