[論文レビュー] Thermodynamically Consistent, Frame Indifferent Diffuse Interface Models for Incompressible Two-Phase Flows with Different Densities

Helmut Abels, Harald Garcke+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2011

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 17被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、密度が異なる非圧縮性二相流体を対象として、合理的連続体力学を用いて導出された、熱力学的に整合的でフレーム不変な拡散界面モデルを提示する。一致漸近展開を用いて、滑らかな界面極限を厳密に導出し、表面拡散に起因する新しい項を含むことを明らかにした。また、すべての導出モデルが自然なエネルギー不等式を満たすことを証明した。

ABSTRACT

A new diffuse interface model for a two-phase flow of two incompressible fluids with different densities is introduced using methods from rational continuum mechanics. The model fulfills local and global dissipation inequalities and is frame indifferent. Moreover, it is generalized to situations with a soluble species. Using the method of matched asymptotic expansions we derive various sharp interface models in the limit when the interfacial thickness tends to zero. Depending on the scaling of the mobility in the diffusion equation we either derive classical sharp interface models or models where bulk or surface diffusion is possible in the limit. In the latter case a new term resulting from surface diffusion appears in the momentum balance at the interface. Finally, we show that all sharp interface models fulfill natural energy inequalities.

研究の動機と目的

• 異なる流体密度を有する非圧縮性二相流体の拡散界面モデルを、熱力学的整合性およびフレーム不変性を満たすように構築すること。
• Model H や Lowengrub-Truskinovsky モデルのような既存のモデルを、密度の可変性を組み込みつつ物理的整合性を保ったまま拡張すること。
• 一致漸近展開を用いて、移動度の異なるスケーリングを考慮した上で、滑らかな界面極限を厳密に導出すること。
• 移動度が適切にスケーリングされる場合に、滑らかな界面極限において表面拡散に起因する新しい項を同定・含めること。
• すべての導出された滑らかな界面モデルが自然なエネルギー不等式を満たすことを証明し、熱力学的安定性を保証すること。

提案手法

• 局所的および大域的散逸不等式を満たすように保証する合理的連続体力学を用いて、拡散界面モデルを定式化する。
• 自由エネルギー密度を $\rho\hat{\sigma}(\varepsilon^{-1}\psi(c) + \varepsilon|\nabla c|^2/2)$ に比例させる。ここで $\rho$ は可変密度を表す。
• 運動量方程式にキャピラリー力項 $-\hat{\sigma}\varepsilon\operatorname{div}(\rho\nabla c \otimes \nabla c)$ を含め、フレーム不変性を確保する。
• 相の進化にカーン＝ヒリャード方程式を用い、移動度 $m(c)$ を導入し、化学ポテンシャル $\mu$ を圧力および曲率寄与を含む形で定義する。
• $ε \to 0$ の極限において一致漸近展開を適用し、拡散界面系から滑らかな界面モデルを導出する。
• 移動度 $m$ のスケーリングを分析し、古典的モデルと、体積または表面拡散を許容するモデルとの区別を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる密度を有する非圧縮性二相流体の拡散界面モデルを、熱力学的整合性およびフレーム不変性を満たすように構築するにはどうすればよいか？
• RQ2 移動度係数の異なるスケーリングのもとで、拡散界面モデルの滑らかな界面極限はどのようなものか？
• RQ3 滑らかな界面極限において表面拡散を組み込むと、界面における運動量保存に新しい物理的項が現れるか？
• RQ4 すべての導出された滑らかな界面モデルが自然なエネルギー不等式を満たすことを示せるか？
• RQ5 可変密度モデルは、古典的 Model H や Lowengrub-Truskinovsky モデルと数学的に・物理的にどのように異なるか？

主な発見

• 提案された拡散界面モデルは、局所的および大域的散逸不等式を満たし、フレーム不変性を満たしており、熱力学的および物理的整合性を保証する。
• 一致漸近展開を用いることで、モデルは移動度 $m$ のスケーリングに依存した滑らかな界面極限を導出する。
• 移動度が $\varepsilon^2$ のスケーリングとなる場合、界面における運動量保存に表面拡散に起因する新しい項が出現し、古典的滑らかな界面モデルを修正する。
• 古典的スケーリングでは、モデルは表面張力と体積力を持つ標準的な滑らかな界面モデルに還元される。
• すべての導出された滑らかな界面モデルは自然なエネルギー不等式を満たしており、熱力学的安定性が確認される。
• 解析により、可変密度モデルが異なる密度を有する二相流体の物理的挙動を正しく捉え、正しい圧力および化学ポテンシャルの結合を反映していることが確認された。