[論文レビュー] Thermodynamics and the Structure of Quantum Theory as a Generalized Probabilistic Theory

Marius Krumm|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この修士論文は、バーレットの提言に従い、フォン・ノイマンの思考実験を一般化して、一般化確率理論（GPT）における熱力学的動機付けに基づくエントロピーを導出する。これはフォン・ノイマンエントロピーに類似した明確に定義されたエントロピーを確立し、射影測定および混合過程において熱力学第二法則と整合することを証明し、2つの構造的公理（古典的部分空間の存在とnレベル系の計算的同等性）を満たすGPTにおいて、情報理論的エントロピー定義と同等であることを示している。

ABSTRACT

This thesis investigates the connection between quantum theory, thermodynamics and information theory. Theories with structure similar to that of quantum theory are considered, mathematically described by the framework of "Generalized Probabilistic Theories". For these theories, a thought experiment by von Neumann is adapted to obtain a natural thermodynamic entropy definition, following a proposal by J. Barrett. Mathematical properties of this entropy are compared to physical consequences of the thought experiment. The validity of the second law of thermodynamics is investigated. In that context, observables and projective measurements are generalized to prove an entropy increase for projective measurements of ensembles. Information-theoretically motivated definitions of the entropy are compared to the entropy from the thermodynamic thought experiment. The conditions for the thermodynamic entropy to be well-defined are considered in greater detail. Several further properties of the theories under consideration (e.g. whether there is higher order interference, Pfister's state discrimination principle) and their relation to entropy are investigated.

研究の動機と目的

• 一般化確率理論（GPT）において、量子理論におけるフォン・ノイマンエントロピーに類似した、熱力学的根拠に基づくエントロピー定義を確立すること。
• 特定の構造的公理を満たすGPTにおいて、射影測定および混合過程に関して熱力学第二法則が成立するかを調査すること。
• 熱力学的に導出されたエントロピーと、GPTにおける情報理論的エントロピー定義（例えば、リーマンエントロピー）を比較すること。
• 高次干渉およびパフスタインの状態識別原理が、GPTにおけるエントロピーとどのように関係するかを検討すること。
• 第三位干渉の不在が、2つの構造的公理から導かれるのか、それとも独立であるのかを特定すること。

提案手法

• バーレットのフレームワークに従い、フォン・ノイマンの理想気体と半透膜に関する思考実験を一般化して、GPTにおける熱力学的エントロピーを導出する。
• 凸幾何学とGPT形式的体系を用いて、状態空間、測定、変換を定義し、非古典的かつ非量子的系としてのgbitに焦点を当てる。
• 正規直交フレームを用いた一般化された射影測定を導入し、非退化および退化ケースの両方においてエントロピー増加を証明する。
• 熱力学的エントロピーとリーマンエントロピー、分解エントロピーを比較し、2つの公理が成り立つ場合に等価であることを示す。
• 組合せ的および幾何的議論を用いて、状態の識別可能性と状態空間の面構造からエントロピーを導出する。
• 卵型GPTを用いて、公理の必要性をテストし、特に弱いスペクトル性がスペクトル性を意味しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子理論を一般化するGPTにおいて、熱力学的動機付けに基づくエントロピーを一貫して定義できるか？
• RQ2 2つの構造的公理を満たすGPTにおいて、射影測定および混合過程に関して熱力学第二法則が成立するか？
• RQ3 これらのGPTにおいて、熱力学的エントロピーは情報理論的エントロピー定義（例：リーマンエントロピー）と同等か？
• RQ4 2つの構造的公理から第三位干渉の不在が導かれるのか、それとも独立であるのか？
• RQ5 パフスタインの状態識別原理は、GPTにおけるエントロピーおよび状態の識別可能性の文脈で果たす役割は何か？

主な発見

• 2つの公理（古典的部分空間の存在とnレベル系の計算的同等性）を満たすGPTにおいて、熱力学的に導出されたエントロピーは明確に定義される。
• 非退化および退化射影測定の両方において、集合のエントロピーが増加することを確認し、この枠組みにおいて熱力学第二法則が成立することを裏付けた。
• 考察されたGPTにおいて、熱力学的エントロピーはリーマンエントロピーおよびスペクトルエントロピーなどの情報理論的エントロピー定義と一致する。
• 卵型GPTは最大整合性を破り、第一の公理だけでは良好に定義されたエントロピーを保証できないことを示しており、両方の公理の必要性を強調している。
• 研究対象のGPTにおいて、パフスタインの状態識別原理が成立しており、識別可能性とエントロピーとの間の構造的関係を示している。
• 第三位干渉の不在は、2つの公理から導かれないため、第三の公理（高次干渉の不在）は独立であり、量子理論を完全に回復するために必要である可能性がある。