[論文レビュー] Theta functions and arithmetic quotients of loop groups

Dongwen Liu|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 69

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}} - \{0,\infty\}$ 上のメトリシzedベクトルバンドルにおける格子上の重み付き和の収束を用いて、ループ群の算術商上の漸近的シータ関数を構成する。Iwasawa分解とフーリエ解析を用いて一様収束を確立し、関数をループシンプレクティック群へ拡張し、Mumfordのシータ関係に類似した漸近的乗法公式を導出する。これは、ループヘイゼンベルク群作用を伴う無限次元トーラス上のラインバンドルのセクションとして解釈される。

ABSTRACT

In this paper we observe that isomorphism classes of certain metrized vector bundles over P^1-{0,infinity} can be parameterized by arithmetic quotients of loop groups. We construct an asymptotic version of theta functions, which are defined on these quotients. Then we prove the convergence and extend the theta functions to loop symplectic groups. We interpret them as sections of line bundles over an infinite dimensional torus, discuss the relations with loop Heisenberg groups, and give an asymptotic multiplication formula.

研究の動機と目的

• 算術商 $\mathcal{Q}_{n,q}$ を、$\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}} - \{0,\infty\}$ 上のメトリシzedベクトルバンドルと体積理論を分類するものとしてのモジュライ的解釈を確立すること。
• ネストされた格子上の極限として定義される漸近的シータ関数 $\vartheta(\widetilde{g})$ を $\widetilde{G}$ 上に構成し、フーリエ解析とパーソン和公式を用いて、シーゲル部分集合上で一様収束を証明すること。
• シータ関数をループシンプレクティック群へ拡張し、無限次元トーラス上のラインバンドルのグローバルセクションとして解釈すること。
• 半無限のグラスマンニアンと次元論を用いて、Mumfordの関係に類似した漸近的乗法公式をシータ関数に対して導出すること。
• 構成をループヘイゼンベルク群と関連づけ、$\widetilde{G}$ 上の自動形式を用いた表現論的解釈を提供すること。

提案手法

• $q^{-1}S^1$ 上での積分により、$\mathbb{R}[t,t^{-1}]^n$ 上に内積を定義し、$g \in GL_n(\mathbb{R}[t,t^{-1}])$ に対して族 $(,)_g$ を得る。
• 中心拡大と二重被覆を用いて、$\mathcal{Q}_{n,q} = \widetilde{\Gamma} \backslash \widetilde{G} / \widetilde{K}$ を、体積データを伴うメトリシzedバンドルのモジュライ空間として構成する。
• 漸近的シータ関数 $\vartheta(\widetilde{g}) = \lim_L c(L) \sum_{v \in L} e^{-\pi(v,v)_g}$ を定義する。ここで $L$ はネストされた格子を走り、$c$ は体積理論である。
• ループ群のIwasawa分解と[4]および[12]の補題の変種を組み合わせ、パーソン和公式を用いて、$\vartheta(\widetilde{g})$ の一様収束を証明する。
• Y. ZhuのWeil表現に関する研究にインspされた表現論的技法を用いて、シータ関数をループシンプレクティック群へ拡張する。
• シータ関数を無限次元トーラス上のラインバンドルのグローバルセクションとして解釈し、半無限のグラスマンニアンと次元論を用いて漸近的乗法公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、$\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}} - \{0,\infty\}$ 上のメトリシzedベクトルバンドルの同型類が、ループ群の算術商によってパラメトライズ可能か？
• RQ2 ネストされた格子上の極限として定義される漸近的シータ関数の収束を保証する条件は何か？
• RQ3 ループ群上のシータ関数をどのようにしてループシンプレクティック群へ拡張できるか。幾何学的および表現論的解釈は何か？
• RQ4 この無限次元設定におけるシータ関数の漸近的乗法公式の構造は何か？
• RQ5 体積理論が次元論と半無限のグラスマンニアンとどのように作用し、概念的な乗法則を導くか？

主な発見

• 漸近的シータ関数 $\vartheta(\widetilde{g})$ は、パーソン和公式とループ群上のフーリエ解析を用いて、$\widetilde{G}$ の特定のシーゲル部分集合上で一様収束することが示された。
• 構成により、$\widetilde{G}$ 上の自動形式が得られ、商 $\mathcal{Q}_{n,q}$ 上でwell-definedであり、算術商のモジュライ的解釈が与えられた。
• シータ関数はループシンプレクティック群へ拡張され、シンプレクティック構造を伴う無限次元設定への古典的シータ関数の一般化を実現した。
• 漸近的乗法公式は、$f_{l_1}^{a_1}(z)f_{l_2}^{a_2}(z) = \lambda \cdot \lim_{d \to \infty} (l_3')^{-\mathscr{D}(L^d_{\mathbb{R}})} \sum_{\eta \in S^{a_1,a_2}_{l_1,l_2} \cap L^d_{\mathbb{Z}}} f^{\widetilde{a}_\eta}_{l_1' l_2' l_3, L^d_{\mathbb{Z}}}(0) f^{a_\eta}_{l_3, L^d_{\mathbb{Z}}}(z)$ として導出された。ここで $\mathscr{D}$ は次元論、$\lambda$ は定数である。
• この公式はMumfordのシータ関係を一般化し、ループヘイゼンベルク群作用を伴う無限次元トーラス上のラインバンドルのセクションの積として解釈される。
• 特に $l_1 = l_2 = l$ の場合、公式は $f^a_l(z)^2 = \lambda \cdot \lim_{d \to \infty} 2^{-\mathscr{D}(L^d_{\mathbb{R}})} \sum_{\eta \in S_2} f^{a_1 - a_2 + l\eta}_{2l, L^d_{\mathbb{Z}}}(0) f^{a_1 + a_2 + l\eta}_{2l, L^d_{\mathbb{Z}}}(z)$ に簡略化され、古典的シータ関係の無限次元版を提供する。