[論文レビュー] Theta Functions and Szegö Kernels

Dani Ben‐Zvi, Indranil Biswas|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、ベクトル bundle のモジュライ空間上のシータ関数と曲線の積上のツェゴ核の間の深い関係を確立し、シータ関数がツェゴ核の行列式へと引き戻されること、およびツェゴ核の対角展開がシータ関数の対数微分を与えることを示している。また、接続の同型を、曲線が変化する場合にまで拡張するための拡張接続を導入することで、シータ線束上の接続と平坦ベクトル束のモジュライの同型を、曲線が固定されている場合から、曲線が変化する場合へと一般化している。

ABSTRACT

We study relations between two fundamental constructions associated to vector bundles on a smooth complex projective curve; the theta function (a section of a line bundle on the moduli space of vector bundles) and the Szego kernel (a section of a vector bundle on the square of the curve). Two types of relations are demonstrated. First, we establish a higher-rank version of the prime form, describing the pullback of determinant line bundles by difference maps, and show that the theta function pulls back to the determinant of the Szego kernel. Next, we prove that the expansion of the Szego kernel at the diagonal gives the logarithmic derivative of the theta function over the moduli space of bundles for a fixed, or moving, curve. In particular, we recover the identification of the space of connections on the theta line bundle with moduli space of flat vector bundles, when the curve is fixed. When the curve varies, we identify this space of connections with the moduli space of extended connections, which we introduce.

研究の動機と目的

• ベクトル bundle のモジュライ空間上のシータ関数と曲線の積上のツェゴ核の間の相互作用を理解すること。
• 決定的線束と差分写像を用いて、高ランクバンドルへのプリム形式の一般化を構成すること。
• 曲線が固定されている場合に、シータ線束上の接続の空間を平坦ベクトル束のモジュライと同一視すること。
• 曲線がモジュライ空間を渡って変化する場合に、この同一視を拡張接続を導入することで一般化すること。

提案手法

• 曲線上の差分写像を介して決定的線束の引き戻しを用いて、高ランク版のプリム形式を構成する。
• シータ関数を曲線の積に引き戻すのを分析し、それがツェゴ核の行列式に等しいことを示す。
• 曲線の積の対角除数の周囲でツェゴ核を形式的べき級数に展開する。
• この展開の先頭項が、モジュライ空間上のシータ関数の対数微分に対応することを関連付ける。
• この関係を用いて、曲線が固定されている場合に、シータ線束上の接続の空間を平坦ベクトル束のモジュライと自然に同一視する。
• 曲線が変化する場合にこの同一視を一般化するため、拡張接続の概念を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル bundle のモジュライ空間上のシータ関数と曲線の積上のツェゴ核の関係は何か？
• RQ2 決定的線束と差分写像を用いて、高ランク版のプリム形式を構成できるか？
• RQ3 ツェゴ核の対角展開の幾何的意味は、シータ関数に関して何を意味するか？
• RQ4 曲線が変化する場合に、シータ線束上の接続と平坦ベクトル束のモジュライとの同一視はどのように拡張されるか？
• RQ5 曲線が固定されていない場合、モジュライ空間内で平坦接続に代わる構造は何か？

主な発見

• 差分写像に沿ったシータ関数の引き戻しは、曲線の積上のツェゴ核の行列式に等しい。
• ツェゴ核の対角展開における1次項は、モジュライ空間上のシータ関数の対数微分に対応する。
• 曲線が固定されている場合、シータ線束上の接続の空間は、平坦ベクトル束のモジュライ空間と自然に同一視される。
• 曲線が変化する場合、この同一視は、接続と「拡張接続」と呼ばれる新しいクラスの対象との対応へと拡張される。
• この構成は、代数幾何学における古典的プリム形式の高ランク一般化を提供する。
• 結果として、変化する曲線を含む接続のモジュライと、シータ関数、ツェゴ核を統一的に結びつけるフレームワークが確立された。