[論文レビュー] Theta Functions for $\SL(n)$ versus $\GL(n)$

Ron Donagi, Loring W. Tu|ArXiv.org|Mar 28, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 38

ひとこと要約

本稿は、曲線上のSL(n)およびGL(n)のベクトル束のmoduli空間におけるtheta関数の次元的関係を明確に確立し、固定行列式moduli空間SM(n,d)と全moduli空間M(n,d)におけるレベルkのtheta関数の空間の次元が、gcd(n,d)と種数gに依存する要因によって関連付けられていることを証明する。さらに、パrameterの対合（involution）の下で、これらの空間の間の自然な双対性を予想し、種数1および次数0のケースでの明示的計算によって裏付けている。

ABSTRACT

Over a smooth complex projective curve $C$ of genus $g$ let $\M (n,d)$ be the moduli space of semistable bundles of rank $n$ and degree $d$ on $C$, and $\SM (n,L)$, the moduli space of those bundles whose determinant is isomorphic to a fixed line bundle $L$ over $C$. Let $θ_F$ and $θ$ be theta bundles over these two moduli spaces. We prove a simple formula relating their spaces of sections: if $h=\gcd (n,d)$ is the greatest common divisor of $n$ and $d$, and $L\in \Pic ^d(C)$, then $$\dim H^0(\SM (n,L), θ^k) \cdot k^g=\dim H^0(\M(n,d),θ_F^k)\cdot h^g.$$ We also formulate a conjectural duality between these two types of spaces of sections.

研究の動機と目的

• 固定行列式moduli空間SM(n,d)と全moduli空間M(n,d)におけるレベルkのtheta関数の空間の次元を関連付ける明確な公式を確立すること。
• 滑らかな射影的曲線上のSL(n)（固定行列式）およびGL(n)（任意の行列式）ベクトル束におけるtheta関数の関係を調査すること。
• パrameterの対合の下で、SM(n₁,d₁)とM(n₂,d₂)におけるtheta関数の間の双対性を定式化し、その証拠を提供すること。
• k=1およびd=0の既知の結果を、一般のkおよび任意のdへと、Verlindeの公式とGalois被覆を用いて拡張すること。
• GL(n)の場合における補完束と行列式ラインバンドルのthetaバンドルへの依存関係を明確にすること。

提案手法

• 群Tₙがn次元torsionバンドルからなる、次数n²gのétale被覆τ: SM(n,L) × Pic⁰(C) → M(n,d)を用いて次元公式を導出する。
• Riemann-Roch定理を適用し、与えられたE ∈ M(n,d)に対する補完バンドルFを特徴づけ、χ(E⊗F) = 0を満たすようにし、これによりM(n,d)上のthetaバンドルθ_Fを定義する。
• テンソル積写像τ_F: E ↦ E⊗Fを介して、M(nn_F, nn_F(g−1))上のthetaバンドルθの引き戻しを用い、θ_F = τ_F^*θを定義する。
• FaltingsによるVerlindeの公式を適用し、dim H⁰(SM(n,L), θᵏ)を計算し、定理1を用いてH⁰(M(n,d), θ_Fᵏ)の次元を導出する。
• パrameterの対合(n₁,d₁,k) ↦ (n₂,d₂,h)を導入し、n₁ = hṅ, d₁ = hḋ, n₂ = kṅ, d₂ = k(ṅ(g−1)−ḋ), h = gcd(n,d)とすることで、2つのmoduli空間を関連付ける。
• 種数1および次数0のケースにおける明示的計算を提供し、対称積S^h C'およびS^k C'を用いてmoduli空間を射影空間と同定し、双対性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定行列式moduli空間SM(n,d)と全moduli空間M(n,d)におけるレベルkのtheta関数の空間の次元は、どのように関連しているか？
• RQ2 n, d, k, gの観点から、dim H⁰(SM(n,L), θᵏ)とdim H⁰(M(n,d), θ_Fᵏ)を結ぶ明確な公式は何か？
• RQ3 パrameterの対合(n₁,d₁,k) ↦ (n₂,d₂,h)の下で、H⁰(SM(n₁,d₁), θᵏ)とH⁰(M(n₂,d₂), θ_Fʰ)の間に自然な双対性が存在するか？
• RQ4 補完バンドルFの選択が、M(n,d)上のthetaバンドルθ_Fにどのように影響するか？また、いつθ_Fが真のthetaバンドルの倍数となるか？
• RQ5 種数1の曲線や次数0のバンドルのような特殊ケースにおいて、双対性予想を検証できるか？

主な発見

• 本稿は、dim H⁰(SM(n,L), θᵏ) · k^g = dim H⁰(M(n,d), θ_Fᵏ) · h^g（h = gcd(n,d)）が成り立つことを証明し、SL(n)およびGL(n)のtheta関数の間の明確な次元的関係を確立した。
• k=1およびd=0のケースでは、Beauville, Laszlo, Sorgerによる既知の計算に一致し、先行研究と整合性が確認された。
• 種数1のケースでは、moduli空間SM(hṅ, hḋ)およびM(kṅ, −kḋ)がそれぞれ対称積S^h C'およびS^k C'と同定され、明示的なコホモロジー計算が可能になった。
• 種数1のケースで明示的な双対性が検証された：H⁰(SM(hṅ, (det F)^h), θᵏ)とH⁰(M(kṅ, −kḋ), θ_Fʰ)は、対称冪コホモロジーを介して自然に双対である。
• 次数0のケース（d=0）では、双対性予想はs(n,0,k) = v(k,0,n)に簡略化され、Verlindeの公式とBott–Szenesの計算により確認された。
• M(n,d)上のthetaバンドルθ_Fは、Fのランクとdet Fにのみ依存し、rk Fが最小でない限り、θ_Fは真のthetaバンドルの倍数である。