[論文レビュー] Thin sums matroids and duality

Hadi Afzali, Nathan Bowler|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、薄い族上の薄い和のマトロイドが、体 k 上の表現可能マトロイドの双対であることを確立し、新しい自己双対的特徴づけを用いて、トゥームな薄い和のマトロイドのクラスが双対性および部分マトロイドについて閉じていることを証明している。さらに、無限グラフに関連するすべての標準的マトロイド—例えば代数的サイクル、トポロジカルサイクル、ボンド—が、任意の体上でのトゥームな薄い和のマトロイドであることを示している。

ABSTRACT

Thin sums matroids were introduced to extend the notion of representability to non-finitary matroids. We give a new criterion for testing when the thin sums construction gives a matroid. We show that thin sums matroids over thin families are precisely the duals of representable matroids (those arising from vector spaces). We also show that the class of tame thin sums matroids is closed under duality and under taking minors, by giving a new characterisation of the matroids in this class. Finally, we show that all the matroids naturally associated to an infinite graph are tame thin sums matroids.

研究の動機と目的

• 薄い和のシステムが実際にマトロイドである条件を特定すること。これは、表現可能性の一般化としてのwell-behavednessに関する未解決問題に応える。
• トゥームな薄い和のマトロイドのクラスを、その双対性および部分マトロイドについての閉包性が明確になる形で特徴づけること。
• 無限グラフに関連するすべての6つの標準的マトロイド（例えば代数的サイクル、トポロジカルサイクル、ボンド）が、任意の体上でのトゥームな薄い和のマトロイドであることを示すこと。
• 薄い和のマトロイドのクラスが双対性および部分マトロイドについて閉じているかどうか、特にトゥームの場合に解決すること。
• トゥームな薄い和のマトロイドの良い構造的性質（例えば双対性および部分マトロイドについての閉包性）を説明する、新しい特徴づけを提供すること。

提案手法

• 薄い依存関係とコサイクル関数の存在に基づく、薄い和のシステムがマトロイドであるための新しい基準を導入する。
• 回路に依存する関数 $ c_o $ とコサイクルに依存する関数 $ d_b $ を用いた、トゥームな薄い和のマトロイドの自己双対的特徴づけを定義し、重要な直交性条件を満たすようにする。
• マトロイドが体 $ k $ 上の薄い族上の薄い和のマトロイドであるための必要十分条件は、それが $ k $-表現可能なマトロイドの双対であることであることを証明する。
• この特徴づけを用いて双対性についての閉包性を示す：自己双対的形態が、トゥームな薄い和のマトロイドの双対が再びトゥームな薄い和のマトロイドであることを示唆する。
• 部分マトロイドについての閉包性を確立する。部分マトロイドは元のマトロイドからの制限および縮約によって、必要な回路およびコサイクル関数を継承する。
• 無限グラフに応用する。6つの標準的マトロイド（例えば代数的サイクル、トポロジカルサイクル、ボンド、有限サイクル）が、任意の体上でトゥームな薄い和の条件を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの薄い和のシステムが実際にマトロイドであるのか？（すなわち、薄い和の構成がマトロイドを生じる条件は何か？）
• RQ2 トゥームな薄い和のマトロイドのクラスは双対性および部分マトロイドについて閉じているか？
• RQ3 無限グラフに関連するすべての標準的マトロイド（例えば代数的サイクル、トポロジカルサイクル、ボンドマトロイド）は、任意の体上で薄い和のマトロイドであるか？
• RQ4 与えられた特徴づけよりも単純な特徴づけが、薄い和のマトロイドに対して見つかるか？
• RQ5 薄い和のマトロイドと表現可能なマトロイドの間の構造的関係は何か、特にトゥームの場合にどうなるか？

主な発見

• 薄い族上の薄い和のシステムがマトロイドであるための必要十分条件は、それが体 $ k $ 上の表現可能なマトロイドの双対であることである。これにより、薄い和のマトロイドと表現可能なマトロイドの間の明確な双対性が確立される。
• トゥームな薄い和のマトロイドのクラスは双対性について閉じており、このマトロイドの自己双対的特徴づけが、任意のトゥームな薄い和のマトロイドの双対が再びトゥームな薄い和のマトロイドであることを保証する。
• トゥームな薄い和のマトロイドのクラスは部分マトロイドについても閉じており、部分マトロイドが元のマトロイドから必要な回路およびコサイクル関数を継承するためである。
• 無限グラフに関連するすべての6つの標準的マトロイド—代数的サイクル、有限サイクル、トポロジカルサイクル、ボンド、有限ボンド、スケュー・カット—は、任意の体 $ k $ 上でトゥームな薄い和のマトロイドである。これは新しい特徴づけにより示された。
• 有限サイクルマトロイド $ M_{FC}(G) $ および有限ボンドマトロイド $ M_{FB}(G) $ は、任意の体上で表現可能である。これらは薄い和のマトロイドの有限的化（finitarification）として生じるからである。
• トポロジカルサイクルマトロイド $ M_C(G) $ はトゥームな薄い和のマトロイドであり、その双対（＝スケュー・カットマトロイド）もトゥームな薄い和のマトロイドである。これは、双対性についての閉包性が重要な例で確認されたことを示している。