[論文レビュー] Three fermions in a box

Thomas Luu|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2008

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、短距離的で反発的な相互作用（『自然な大きさ』）を有する3つの同一のスピン1/2フェルミオンを有限な箱内に置いた系に対して、L"uschers形式主義を拡張し、箱のサイズLの逆数のべき級数における摂動論を用いる。$A_1$、$T_1$、$E$の立方対称性表現における基底状態の有限体積エネルギーシフトを導出し、$T_1$状態では$1/L^5$まで、$A_1$および$E$状態では$1/L^4$までの精度を得た。これは、格子QCDを用いた三フェルミオン系の研究の基盤を提供する。

ABSTRACT

I calculate finite-volume effects for three identical spin-1/2 fermions in a box assuming short-ranged repulsive interactions of `natural size'. This analysis employs standard perturbation theory in powers of 1/L, where L^3 is the volume of the box. I give results for the ground states in the A_1, T_1, and E cubic representations.

研究の動機と目的

• 2体系に対するL"uschers形式主義を、有限な箱内に存在する三フェルミオン系に一般化すること。
• 短距離的で反発的な相互作用を有する3つの同一のスピン1/2フェルミオンの有限体積エネルギーシフトを計算すること。
• 立方対称性表現$A_1$、$T_1$、$E$における基底状態について、$1/L$のべき級数における摂動的結果を提供すること。
• 特に核物理学に関連する、三フェルミオン系の格子QCD計算のための枠組みを確立すること。

提案手法

• 相対座標$\vec{R}_{12}$、$\vec{R}_3$、$\vec{R}_{\text{cm}}$を用いて三体問題をジャコビ基底に変換し、中心座標運動を分離するために$\vec{N}_{\text{cm}} = 0$を設定する。
• 三体反対称化子$P^{123}_{\mathcal{A}}$を用いてフェルミオン状態を反対称化し、パウリの禁制が満たされることを保証する。
• 立方群の対称性に基づいて状態を分類し、各立方シェル$n$において、$A_1$、$T_1$、$E$の既約表現を特定する。$n=1$を主な焦点としている。
• s波およびp波の散乱長と有効範囲をパrameterとする相互作用ハミルトニアンに対して、$1/L$の摂動論を適用する。
• 運動量状態の格子和を用いて有限体積補正を計算し、$\mathcal{L}_1$、$\mathcal{L}_2$、$\mathcal{M}_1$、$\mathcal{M}_2$などの主要な和の数値を提供する。
• エネルギーシフトを$\epsilon_0 = 4\pi^2/(mL^2)$の単位で表し、$a_0$、$r_0$、$a_1$、$r_1$、および対数和$\mathcal{L}_1$、$\mathcal{L}_2$、$\mathcal{M}_2$の関数として結果を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パウリの禁制を考慮した有限な箱内に存在する三フェルミオン系に対して、L"uschers形式主義をどのように一般化できるか？
• RQ2 短距離的で反発的な相互作用を有する3つの同一のスピン1/2フェルミオンのエネルギー準位に対する、有限体積補正の主要項は何か？
• RQ3 エネルギーシフトは、三フェルミオン系の立方対称性表現（$A_1$、$T_1$、$E$）およびスピン状態にどのように依存するか？
• RQ4 $T_1$状態では$1/L^5$まで、$A_1$および$E$状態では$1/L^4$までの摂動的構造はどのように得られるか？
• RQ5 s波およびp波の相互作用は、$n=1$の立方シェルにおいて、有限体積エネルギーシフトにどのように寄与するか？

主な発見

• スピン$3/2$の$T_1^-$状態では、エネルギーシフトは$\epsilon / \epsilon_0 = 1 + 36\pi a_1 / L^3 + \mathcal{O}(L^{-5})$であり、$1/L^4$項は存在しない。
• スピン$1/2$の$T_1^-$状態では、$1/L^3$まで項が存在し、$a_0/L$、$a_0^2/L^2$、$a_1/L^3$、$a_0^2 r_0 / L^3$、$a_0^3 / L^3$の寄与があり、$\mathcal{L}_2$および$\mathcal{M}_2$を含む係数が現れる。
• スピン$1/2$の$E^+$状態では、エネルギーシフトは$\epsilon / \epsilon_0 = 1 + a_0 / (\pi L) - (3/2 + \mathcal{L}_2) a_0^2 / (\pi^2 L^2) + \mathcal{O}(L^{-3})$であり、$\mathcal{L}_2$に敏感であることが示される。
• スピン$1/2$の$A_1^+$状態では、エネルギーシフトは$\epsilon / \epsilon_0 = 1 + 7 a_0 / (\pi L) - (3/2 + \mathcal{L}_2 + 6 \mathcal{L}_1) a_0^2 / (\pi^2 L^2) + \mathcal{O}(L^{-3})$であり、$\mathcal{L}_1$および$\mathcal{L}_2$に明示的な依存性を示す。
• 格子和$\mathcal{L}_1$、$\mathcal{L}_2$、$\mathcal{M}_1$、$\mathcal{M}_2$は、$\Lambda \to \infty$極限において、それぞれ$-1.21134$、$-6.37481$、$23.24322$、$18.3$として数値的に評価された。
• 結果は『自然な大きさ』の相互作用に対して有効であり、$a_0/L \ll 1$、$r_0/L \ll 1$、$a_1/L^3 \ll 1$、$r_1 L \ll 1$を満たすため、摂動論的制御が保証される。