[論文レビュー] Three Hopf algebras from number theory, physics & topology, and their common background I: operadic & simplicial aspects

Imma Gálvez-Carrillo, Ralph M. Kaufmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 37被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、単体的対象と乗法を備えたコオペラッドから生じることを示すことにより、多重ゼータ値のゴンチャロフのホップ代数、量子化のためのコネス＝クライマーのホップ代数、二重ループ空間のバウエスのホップ代数という3つの異なるホップ代数を統一する枠組みを確立する。主な貢献は、乗法を備えたコオペラッドから双代数を導く一般的構成法であり、連結性を強制する商をとることでホップ代数構造が生じることを示している。これにより、フェインマンカテゴリとオペラッド形式主義を通じて、数論、物理学、位相幾何学の間で深い圏論的統一性が明らかになる。

ABSTRACT

We consider three a priori totally different setups for Hopf algebras from number theory, mathematical physics and algebraic topology. These are the Hopf algebra of Goncharov for multiple zeta values, that of Connes-Kreimer for renormalization, and a Hopf algebra constructed by Baues to study double loop spaces. We show that these examples can be successively unified by considering simplicial objects, co-operads with multiplication and Feynman categories at the ultimate level. These considerations open the door to new constructions and reinterpretations of known constructions in a large common framework, which is presented step-by-step with examples throughout. In this first part of two papers, we concentrate on the simplicial and operadic aspects.

研究の動機と目的

• 数論、数学的物理、代数的位相幾何学から生じる3つの異なるホップ代数を、1つの圏論的枠組みで統一すること。
• これらの代数が単体的対象と乗法を備えたコオペラッドという共通の起源から生じることを示すこと。
• 乗法を備えたコオペラッドから双代数を構成する一般的枠組みを確立し、ホップ代数がこれらの双代数の商として生じることを示すこと。
• 双代数からホップ代数へと変換する際の連結性と余単位の役割を明確にすること、特にほとんど連結性を強制する商の役割を特定すること。
• コネス＝クライマーの根付き森に対するホップ代数が、単体的構造の縮約として生じることを示し、これが一般枠組みの特別な場合であることを明らかにすること。

提案手法

• ユニタルなオペラッドの双対への自由代数構成を用いて、乗法を備えたコオペラッドから双代数を構成する。
• ユニタリティやコユニタルティを要件としない一般化として、乗法を備えたコオペラッドの概念を導入し、双代数を生成する。
• コユニタルなコオペラッドに対する自由構成を用いて双代数を生成し、深さによる自然なフィルトレーションを導入する。
• 左コ代数のコユニットを持つ双代数の場合、その関連グレーディングが第一グレーディング成分に対する自由構成の商であることを証明する。
• ジョイアル双対性を用いて、n-単体の単体的構造と経路空間の立方体的構造を関連づけ、コ乗法の幾何的解釈を可能にする。
• ゴンチャロフとバウエスのホップ代数におけるコ乗法が、立方体チェイン上の対角近似から生じることを示し、シャッフルは退化写像によって符号化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゴンチャロフ、コネス＝クライマー、バウエスのホップ代数を、1つの圏論的枠組みで体系的に統一することは可能か？
• RQ2 n-単体の単体的構造が、数論と位相幾何学における双代数とコ乗法を生成する際に果たす構造的役割は何か？
• RQ3 乗法を備えたコオペラッドが双代数の普遍的構成法として機能する仕組みは何か？また、ホップオペラッドをどのように一般化するか？
• RQ4 双代数から連結性を強制する商をとることでホップ代数が得られるプロセスは何か？また、コユニットの存在を保証する条件は何か？
• RQ5 コネス＝クライマーのホップ代数と単体的構成との間の明確な関係は何か？特に、木における辺の縮約が果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の単体的対象は、乗法を備えたコオペラッドに基づく構成により双代数を生じさせ、多重ゼータ値と二重ループ空間の両者を統一的に扱うメカニズムを提供する。
• コネス＝クライマーの根付き森に対するホップ代数は、単体的対象から構成された双代数の商として生じており、辺の縮約がその主要な写像である。
• ゴンチャロフの多重ゼータ値のホップ代数は、n-単体の単体的構造から導かれた双代数の商として実現される。
• ゴンチャロフとバウエスのホップ代数におけるコ乗法は、立方体チェイン上の対角近似として幾何学的に解釈され、和分解に対応する項を有する。
• 一般の双代数構成は深さフィルトレーションを備え、左コ代数のコユニットが存在する場合には、双代数はその関連グレーディングの変形であり、第一グレーディング成分に対する自由構成の商である。
• n-単体における経路空間の立方体的構造が、コ乗法におけるシャッフルを符号化しており、退化写像とパラメータ化された経路合成がシャッフル積を実現する。