[論文レビュー] Three remarks on one dimensional bi-Lipschitz conjugacies

Andrés Navas|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、1次元の $C^r$ 円周微分同相写像作用間の双リプシッツ同相が、いつ $C^r$ 微分同相となるかを調査する。等化されたゴツシャルク＝ヘルドランド補題を用いて、極小的で、自由でなく、エルゴディックな作用に対しては、このような同相が $C^r$ であることを証明する。一方、非極小の場合には、$C^1$ でない双リプシッツ同相の明示的例を構成し、結果が一般に拡張されないことを示す。

ABSTRACT

We show that bi-Lipschitz conjugacies between non singular one dimensional systems are forced to be smooth, at least in the minimal (and ergodic) case. This is however far from being true in the non minimal case. These results clarify a classical work by Ghys and Tsuboi.

研究の動機と目的

• 非自由な $C^r$ 円周微分同相写像作用間の双リプシッツ同相が、いつ自動的に $C^r$ 微分同相となるかを特定すること。
• ギズとツボイの古典的結果（$C^1$ 同相が $C^r$ 微分同相に拡張可能）が、双リプシッツ同相にどの程度一般化可能かを明確にすること。
• 極小性、エルゴディック性、および安定化部分群の構造が、同相の正則性に与える影響を調査すること。
• 非極小の場合に、双リプシッツ同相が $C^1$ でない例を明示的に構成すること。
• 同相問題が、同相が双リプシッツである場合でさえも、常に中心化子問題に還元可能とは限らないことを示すこと。

提案手法

• 古典的ゴツシャルク＝ヘルドランド補題を群作用に適応し、極小作用に対して等化された形を証明する。
• 等化された補題を用いて、双リプシッツ同相から生じる有界なコサイクルが、極小性とエルゴディック性のもとで滑らかさを示すことを証明する。
• 長さが0に収束する区間の列を構成し、各区間上で $C^\rho$ 微分同相を定義し、$C^r$ ノルムを制御する。
• 異なる比（4/3 と 2/3）で区間をスケーリングする双リプシッツ写像 $\phi_0$ を定義し、2つの $C^\infty$ 微分同相の間に同相を誘導する。
• 導関数の比が収束しないことを示すことで、$C^1$ 同相が存在しないことを証明する。これは、導関数の連続性に反する。
• トンプソン群を用いて、例外的極小集合を持つ円周作用にこの構成を貼り合わせ、$C^1$ でない同相性質を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自由な $C^r$ 円周微分同相写像作用間の双リプシッツ同相が、いつ $C^r$ となるか。
• RQ2 ギズとツボイの古典的結果（$C^1$ 同相が $C^r$ 微分同相に拡張可能）が、双リプシッツ同相に拡張可能か。
• RQ3 作用が非極小の場合に、双リプシッツ同相が $C^1$ でないことがあるか。
• RQ4 双リプシッツ設定下で、同相問題が中心化子問題に還元可能か。
• RQ5 双リプシッツ同相が存在するが $C^1$ 同相が存在しない、実解析的例を構成可能か。

主な発見

• 極小的で、非自由で、エルゴディックな $C^r$ 円周作用に対しては、任意の双リプシッツ同相は必然的に $C^r$ 微分同相である。
• 非極小の場合には、$C^\infty$ 円周作用が存在し、その間の双リプシッツ同相は $C^1$ でない。さらに、任意の開区間上でも微分可能でない。
• このような同相の構成は、非収束する比の列（4/3 と 2/3）による区間のスケーリングに依存しており、これにより $C^1$ 正則性が妨げられる。
• $C^1$ 同相が存在しないのは、同相下での区間長の比が蓄積点で収束しないため、導関数の連続性に反する。
• 同相は中心化子問題に還元できない。なぜなら、作用は $C^1$ 写像による同相でないにもかかわらず、双リプシッツ同相であるからである。
• 結果は、標準的な一般化により、codimension one foliations および 1次元 pseudo-groups に拡張可能である。