[論文レビュー] Tight Bounds for Randomized Load Balancing on Arbitrary Network Topologies

Thomas Sauerwald, He Sun|Bristol Research (University of Bristol)|Jan 13, 2012

Mobile Ad Hoc Networks参考文献 39被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、任意の正則ネットワークにおける離散的トークンモデルにおける確率的負荷均衡化のタイトな境界を確立し、不均衡度が連続ケースと同一の漸近的ラウンド数内で加法的定数に収束することを示している。局所的発散度を導入し、ランダムウォークを用いて丸め誤差を分析することで、離散的負荷均衡化が連続的マルコフ連鎖近似とほぼ同一の性能を達成することを証明し、その近似精度に関する長年の未解決問題を解決した。

ABSTRACT

We consider the problem of balancing load items (tokens) in networks. Starting with an arbitrary load distribution, we allow nodes to exchange tokens with their neighbors in each round. The goal is to achieve a distribution where all nodes have nearly the same number of tokens. For the continuous case where tokens are arbitrarily divisible, most load balancing schemes correspond to Markov chains, whose convergence is fairly well-understood in terms of their spectral gap. However, in many applications, load items cannot be divided arbitrarily, and we need to deal with the discrete case where the load is composed of indivisible tokens. This discretization entails a non-linear behavior due to its rounding errors, which makes this analysis much harder than in the continuous case. We investigate several randomized protocols for different communication models in the discrete case. As our main result, we prove that for any regular network in the matching model, all nodes have the same load up to an additive constant in (asymptotically) the same number of rounds as required in the continuous case. This generalizes and tightens the previous best result, which only holds for expander graphs, and demonstrates that there is almost no difference between the discrete and continuous cases. Our results also provide a positive answer to the question of how well discrete load balancing can be approximated by (continuous) Markov chains, which has been posed by many researchers.

研究の動機と目的

• 任意の正則ネットワークトポロジーにおける離散的および連続的負荷均衡化の収束速度のギャップを埋めること。
• 丸め誤差が離散的負荷均衡化プロトコルに及ぼす影響を分析すること。これは連続モデルに存在しない非線形行動を引き起こす。
• 連続的マルコフ連鎖が離散的負荷均衡化をモデル化する際の近似品質について、厳密な理論的基盤を提供すること。
• 従来、拡張グラフに限定されていた先行研究を、特別なグラフクラスを超えて一般の正則ネットワークへ拡張すること。
• 離散的負荷均衡化が連続的マルコフ連鎖の性能に近いかどうかという未解決の問いを解消すること。

提案手法

• 時間経過に伴うエッジをまたがる累積的負荷不均衡を測る指標として、局所的発散度の概念を導入する。
• ランダムウォーク解析を用いて、各ノードにおける離散的および連続的負荷分布の乖離を制限する。
• 濃度不等式（例えば、ホーフィング型の境界）を適用し、トークン移動における丸め誤差の尾部挙動を制御する。
• エッジベースおよび頂点ベースのプロトコルという2つの通信モデルを定義し、それぞれ異なる丸めおよび同期ルールを分析する。
• 特に、スぺクトルギャップ $1 - ilde{ ho}( extbf{P})$ を用いて、収束時間とネットワーク構造との関係を関係づける。
• 誤差蓄積を定量化するため、$L^2$-発散度 $oldsymbol{ heta}_2( extbf{P})$ および $oldsymbol{ heta}_2^{ ext{loc}}( extbf{P})$ の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の正則ネットワークにおける離散的負荷均衡化は、連続ケースと同等の収束時間に達成できるか？
• RQ2 離散的トークン移動における丸め誤差が時間経過に伴い不均衡度に与える影響は何か？ そして、それらはタイトに境界づけられるか？
• RQ3 連続的マルコフ連鎖モデルは、離散的負荷均衡化プロトコルをどの程度正確に近似できるか？
• RQ4 離散的および連続的負荷均衡化の性能ギャップはネットワークトポロジーに依存するか？ もしそうなら、どのように依存するか？
• RQ5 局所的発散度パラメータを用いて、一般のグラフにおける不均衡度のタイトな境界を導出できるか？

主な発見

• マッチングモデルにおける任意の正則ネットワークでは、すべてのノードが平均値から加法的定数の範囲内に収束し、連続ケースと同一の漸近的ラウンド数を要する。
• 収束時間 $\/mathcal{O}\big{(}\\frac{\\log(Kn)}{1-\lambda(\\mathbf{P})}\\big{)}$ 以内に、不均衡度は高確率で $\\mathcal{O}\big{(}\\sqrt{\\log n \cdot \\Delta}\\big{)}$ 以下である。ここで $\\Delta$ は最大次数を表す。
• $d$-正則グラフにおける頂点ベースプロトコルでは、高確率で収束時間 $\/mathcal{O}\big{(}\\frac{\\log(Kn)}{1-\lambda(\\mathbf{P})}\\big{)}$ 以内に不均衡度が $\\mathcal{O}\big{(}d^2 \sqrt{\\log n}\\big{)}$ 以下に抑えられる。
• 局所的発散度パラメータは、離散的および連続的負荷均衡化の不均衡度ギャップをタイトに特徴づけ、正確な誤差境界の導出を可能にする。
• 本研究は、従来拡張グラフに限定されていた先行研究を一般の正則ネットワークへ拡張し、離散的ケースが収束時間の追加コストをほとんど負わないことを示した。
• 本稿は、長年の未解決問題である「連続的マルコフ連鎖が離散的負荷均衡化を正確に近似できるか」に対して肯定的な答えを提供し、近似誤差が小さくかつ有界であることを示した。