[論文レビュー] Tilings of Rectangular Regions by Rectangular Tiles: Counts Derived from Transfer Matrices

Richard J. Mathar|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2014

Cellular Automata and Applications参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元の長方形タイルを用いた長方形領域および3次元長方形ルームのタイル張りの数を数えるための転送行列法を開発する。タイル張りの進行を、被覆領域のプロファイルを追跡する状態ベクトルによってモデル化する。$1\times3$、$1\times4$、$2\times3$、$1\times1\times2$、$1\times1\times3$、$1\times1\times4$、$1\times2\times3$タイルについて、やや広い床や部屋において明示的な母関数を導出し、状態有向グラフ上の閉路ウォークの数え上げによって正確なタイル張りの数え上げを可能にする。

ABSTRACT

Step by step completion of a left-to-right tiling of a rectangular floor with tiles of a single shape starts from one edge of the floor, considers the possible ways of inserting a tile at the leftmost uncovered square, passes through a sequence of rugged shapes of the front line between covered and uncovered regions of the floor, and finishes with a straight front line at the opposite edge. We count the tilings by mapping the front shapes to nodes in a digraph, then counting closed walks on that digraph with the transfer matrix method. Generating functions are detailed for tiles of shape 1 x 3, 1 x 4 and 2 x 3 and modestly wide floors. Equivalent results are shown for the 3-dimensional analog of filling bricks of shape 1x 1 x 2, 1 x 1 x 3, 1 x 1 x 4, 1 x 2 x 2 or 1 x 2 x 3 into rectangular containers of small cross sections.

研究の動機と目的

• 固定された長方形タイルを用いた長方形領域および3次元長方形コンテナのタイル張りの仕方の数を体系的に数える方法を開発すること。
• 被覆領域と未被覆領域の境界のプロファイルに基づいて、タイル張りのプロセスを状態遷移の系列としてモデル化すること。
• 転送行列法を用いて、タイル張りの数え上げを状態ベクトルの有向グラフ上の閉路ウォークの数え上げに変換すること。
• 特定のタイル形状およびコンテナ寸法について明示的な母関数を導出し、タイル張りの数の正確な計算を可能にすること。

提案手法

• 各中間的なタイル張り状態を高さベクトル $ (h_1 h_2 \ldots h_m) $ で表現する。ここで $ h_i $ は列 $ i $ におけるタイルの突入深さを符号化し、$ 0 \leq h_i \leq t_n $ を満たす。
• ノードが状態ベクトル、エッジが1つの状態から次の状態に進む有効なタイル配置を表す有向グラフ（有向グラフ）を構築する。
• 転送行列法を用いて、すべての成分が0の状態ベクトル $ (00\ldots0) $ から出発し、同じ状態で終了する長さ $ N $ の閉路ウォークの数を数える。これは完全なタイル張りに対応する。
• グラフ理論的ルールを適用して通常母関数 $ T_{t_m \times t_n}(m,z) = \sum_N T(m,N) z^N $ を導出する：エッジに重み $ z $ を割り当て、直列および並列パスの合成、およびループの幾何級数展開を用いる。
• 連結していない部分グラフを除去するための剪定ルールを適用し、母関数の式を簡略化する。
• 母関数の構造を用いて係数抽出により正確なタイル張りの数を抽出する。結果は、既知の整数列（例：OEIS A000079, A103143, A237357, A237358, A233291）と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された長方形タイル $ t_m \times t_n $ を用いた $ m \times n $ の長方形床の異なるタイル張りの数を、両方の向きを含めて、どのように効率的に計算できるか？
• RQ2 部分タイル張りの状態空間の構造は何か？ また、その構造を有限の有向グラフとして符号化することで、数え上げが可能になるか？
• RQ3 2次元および3次元のタイリング問題について、$1\times3$、$1\times4$、$2\times3$、および $1\times1\times4$ や $1\times2\times3$ のような3次元ブロックに対して母関数を導出できるか？ また、それらはタイル張りの数に何を明らかにするか？
• RQ4 2次元および3次元のタイリング問題の母関数は、既知の整数列や組合せ構造とどのように関係しているか？
• RQ5 状態有向グラフにおける対称性と連結性の役割は何か？ また、母関数を簡略化するために、関係のない部分をどのように除去できるか？

主な発見

• $1\times3$ タイルを $1\times n$ の床に張る場合、母関数が導出され、その係数が既知の組合せ的数え上げと一致することが示された。
• $1\times4$ タイルを $2\times n$ の床に張る場合、母関数は $ T_{1\times4}(2,4,z) = \frac{1 - z^4 - z^8 + z^{12} - z^6}{(1 - z^2 - 2z^4 + z^8)(-z^{12} + z^4 + 1 - z^8 + z^6)} $ となる。係数は $1\times4$ タイル張りの数の平方と一致する。
• $1\times1\times4$ ブロックを $2\times4\times n$ の部屋に張る場合、母関数の係数は $ T(2,4,N) = T_{1\times4}^2(4,N) $ を与え、2次元と3次元のタイル張りの数の間の構造的関係を確認した。
• $1\times2\times3$ ブロックを $2\times2\times n$ の部屋に張る場合、母関数は $ \frac{1}{1 - 2z^2} $ となり、2のべき乗を生成する。これは、各配置後にプロファイルが元の直線状態に戻ることを反映している。
• $3\times3\times n$ の部屋に $1\times2\times3$ ブロックを張る場合、母関数は $ \frac{1 - z^3}{1 - 22z^6 - 7z^3 - 36z^9} $ となり、係数 $ 1, 6, 64, 616, 5936, 57408, \ldots $ を与え、OEIS A237357 と一致する。
• $3\times4\times n$ の部屋に $1\times2\times3$ ブロックを張る場合、母関数は複雑な有理関数形をとり、分子および分母の多項式を持つ。係数 $ 1, 1, 11, 64, 296, 1716, 9123, \ldots $ を生成し、OEIS A237358 と一致する。