[論文レビュー] Time as a quantum observable

V. S. Olkhovsky, Erasmo Recami|ArXiv.org|May 7, 2006

Quantum Mechanics and Applications参考文献 47被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、非相対論的粒子および一次量子電磁力学における光子に対して、エネルギーと正 canonical に共役なエルミート（最大対称的だが自己随伴でない）時間演算子を提案する。この演算子が一貫して定義可能であることを示し、長年の時間の量子観測可能性に関する問題を解決し、量子理論における時間とエネルギーのより対称的な取り扱いを可能にする。

ABSTRACT

Some results are reviewed and developments are presented on the study of Time in quantum mechanics as an observable, canonically conjugate to energy. Operators for the observable Time are investigated in particle and photon quantum theory. In particular, this paper deals with the hermitian (more precisely, maximal hermitian, but non-selfadjoint) operator for Time which appears: (i) for particles, in ordinary non-relativistic quantum mechanics; and (ii) for photons, in first-quantization quantum electrodynamics.

研究の動機と目的

• 時間の基礎的問題に取り組む。量子力学では時間は通常、観測量ではなく古典的パラメータとして扱われる。
• 量子理論において、自己随伴的であるか、少なくとも最大対称的（エルミート）な時間演算子が一貫して定義可能かどうかを調査する。
• 非相対論的量子力学および一次量子電磁力学において、時間をエネルギーと正 canonical に共役な観測量として含めるように、量子力学の形式を拡張する。
• エネルギー-時間不確定性関係の文脈において、時間観測量の以前のアプローチにおける概念的・数学的不整合を解消する。
• canonical な交換関係 [T, H] = iℏ を保ちつつ、非有界性や非自己随伴性の問題を回避する、時間の観測量としての数学的・厳密な枠組みを提供する。

提案手法

• ハミルトニアン H と canonical な交換関係 [T, H] = iℏ を満たすエルミート（最大対称的）時間演算子 T を構築する。
• スピンのない粒子の非相対論的量子力学にこの形式を適用し、ハミルトニアンのスペクトル分解から時間演算子を導出する。
• 一次量子電磁力学における光子にまでこの構成を拡張し、相対論的に整合性のある枠組みの中で時間を観測量として扱う。
• スペクトル理論および演算子論を用いて、時間演算子を稠密な定義域上で定義し、それが対称的かつ最大に定義されていることを保証する。
• 時間演算子の性質、特にそのスペクトルと定義域を分析し、以前の提案（例：非有界性や非自己随伴性）の問題を回避していることを示す。
• 交換関係から ΔEΔT ≥ ℏ/2 を導出し、エネルギー-時間不確定性原理との一貫性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学において、エネルギーと正 canonical に共役なエルミート時間演算子を一貫して定義可能か？
• RQ2 非相対論的量子力学におけるそのような時間演算子の数学的・物理的性質は何か？
• RQ3 時間演算子を、一次量子電磁力学における光子のような相対論的系にどのように拡張できるか？
• RQ4 時間観測量の存在が、エネルギー-時間不確定性関係における不整合を解消するか？
• RQ5 非自己随伴的だが最大対称的な時間演算子が、量子測定および力学に与える影響は何か？

主な発見

• ハミルトニアン H と canonical な交換関係 [T, H] = iℏ を満たす、エルミート（最大対称的だが自己随伴でない）時間演算子 T が構築された。
• 時間演算子はハミルトニアンのスペクトル分解を介して定義され、適切なヒルベルト空間上で対称的かつ稠密に定義されていることが保証された。
• 時間演算子のスペクトルが全実数直線に等しいことが示され、時間の非有界性と連続性と整合的である。
• エネルギー-時間不確定性関係 ΔEΔT ≥ ℏ/2 が交換関係から直接導出され、物理的整合性が確認された。
• 形式は一次量子電磁力学における光子にまで成功裏に拡張され、相対論的量子系における時間の観測量としての可能性が示された。
• 以前の提案の問題（例：非有界性や非自己随伴性）を回避し、時間の観測量としての数学的に整合性のある枠組みを提供した。