[論文レビュー] Time consistency and moving horizons for risk measures

Samuel N. Cohen, Robert J. Elliott|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2009

Risk and Portfolio Optimization参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、移動する時間枠における動的リスク測度に対して、'信頼性'と呼ばれる時間的一致性の新しい形式を導入する。リスクは、時間とともに前進する固定された将来ウィンドウ（例：1年）の範囲で評価される。政策選択肢が切断操作に関して閉じている（すなわち、投資家がいつでも退場できる）場合、移動時間枠を用いた最適政策は、同等の再帰的整合性を持つ価値関数に基づく最適政策と等価であることが示され、時間枠の移動に対しても意思決定の信頼性が保証される。

ABSTRACT

We consider portfolio selection when decisions based on a dynamic risk measure are affected by the use of a moving horizon, and the possible inconsistencies that this creates. By giving a formal treatment of time consistency which is independent of Bellman's equations, we show that there is a new sense in which these decisions can be seen as consistent.

研究の動機と目的

• 移動時間枠アプローチを用いる動的リスク管理における時間的一致性の問題に対処すること。このアプローチでは、リスクが時間とともに前進する固定された将来ウィンドウ（例：1年）の範囲で評価される。
• 時間枠の移動に対しても最適意思決定が信頼性を保つことを保証する新しい一貫性特性—'信頼性'—を形式化すること。
• 政策空間が切断操作に関して閉じている場合、移動時間枠意思決定が再帰的整合性を持つ価値関数に基づく意思決定と一致することを示すこと。
• 長期的モデリングが非現実的である場合に、実務において移動時間枠を用いる理論的根拠を提供すること。
• 移動時間枠リスク測度が依然として信頼性があり、時間的一致性を持つ意思決定をもたらす条件を明確にすること。

提案手法

• ベルマンの原則に依存しない、意思決定の信頼性に焦点を当てた時間的一致性の新しい定義—'信頼性'—を提案する。
• 時間 $t$ における元のリスク測度と整合性を持つように、移動時間枠に制限された政策のみを許容する修正された価値関数 $\tilde{\mathcal{V}}_t(X)$ を用いる。
• 政策の切断に関する閉包性の概念を適用する：任意の停止時刻 $\tau$ に対して、政策 $X$ が許可されるなら、$I_{[0,\tau[}X$ も許可され、これにより将来の意思決定が現在の選択を損なわないように保証する。
• 政策空間が切断操作に関して閉じている場合、元の価値関数 $\mathcal{V}_t$ と修正された信頼性のあるバージョン $\tilde{\mathcal{V}}_t$ における最適政策が等価であることを確立する。
• 非線形期待値と後向き確率微分方程式（BSDE）を用いて再帰的リスク測度の基礎を構築し、$\rho$ が $\mathcal{F}_t$-整合性を持つ非線形期待値であると仮定する。
• 価値関数が時間枠まで再帰的であり、かつ政策が切断操作に関して閉じている場合、移動時間枠における最適政策は信頼性を有する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な再帰性の失敗にもかかわらず、移動時間枠を用いる動的リスク測度において、時間的一致性を維持できるか？
• RQ2 移動時間枠における意思決定が、将来の行動と整合的で信頼性を持つために必要な条件は何か？
• RQ3 切断操作に関して閉じた政策空間の導入が、移動時間枠リスク評価における最適意思決定の一貫性に与える影響は何か？
• RQ4 修正された価値関数 $\tilde{\mathcal{V}}_t$ が移動時間枠における意思決定の信頼性をどのように保証するか？
• RQ5 移動時間枠から導かれる最適政策が、再帰的整合性を持つリスク測度から導かれるものと等価となる条件は何か？

主な発見

• 元の価値関数 $\mathcal{V}_0$ に基づいて導かれた最適政策 $X^0$ は $\mathcal{V}_0(X^0) = 0.1889$ を示すが、これは $\mathcal{V}_0(X^0) < \mathcal{V}_0(\hat{X}) = -2.4926$ であるため、時間的一致性を満たさない。
• 政策空間を切断操作に関して閉じた政策 $\tilde{\mathcal{U}}_t^{\hat{X}}$ に制限すると、修正された価値関数 $\tilde{\mathcal{V}}_0$ は $\tilde{\mathcal{V}}_0(X^0) = 0.1889 < \tilde{\mathcal{V}}_0(\hat{X}) = 0.4741$ を得る。これにより、$\hat{X}$ が信頼性のあるフレームワーク下で最適であることが示された。
• 価値関数 $\tilde{\mathcal{V}}_t$ は、切断された政策空間上で $\mathcal{V}_t$ と一致し、元の評価と信頼性のある評価との一貫性を保証する。
• 政策 $X$ が許容可能（すなわち、$\tilde{\mathcal{V}}_0(X) \geq 0$）であり、かつ政策空間が切断操作に関して閉じている場合、最適実現政策 $\hat{X}$ は $\tilde{\mathcal{V}}_0(\hat{X}) \geq \tilde{\mathcal{V}}_0(X^0) \geq \tilde{\mathcal{V}}_0(X) \geq 0$ を満たし、信頼性が保証される。
• この結果は、基礎となるリスク測度が再帰的 $\mathcal{F}_t$-整合性を持つ非線形期待値であるという仮定のもとで成り立つ。非再帰的測度（例：コherentなVaR）には適用されない。
• 本稿は、投資家がいつでも退場できる場合、移動時間枠アプローチがリスク管理において正当化され、最適意思決定の信頼性が保証されることを結論づける。