[論文レビュー] Time-dependent Neutral stochastic functional differential equation driven by a fractional Brownian motion in a Hilbert space

Brahim Boufoussi, Salah Hajji+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2014

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間における分数ブラウン運動によって駆動される時刻に依存する中立型確率的関数微分方程式に対して、弱解の存在および一意性を確立する。Banachの不動点定理と、確率的畳み込み積分に対する新規なL²-評価を用いて、係数に適切なリプシッツ連続性および成長条件が満たされる場合のグローバル存在結果を証明する。具体的な例は放物型SPDEの設定で提示される。

ABSTRACT

In this paper we consider a class of time-dependent neutral stochastic functional differential equations with finite delay driven by a fractional Brownian motion in a Hilbert space. We prove an existence and uniqueness result for the mild solution by means of the Banach fixed point principle. A practical example is provided to illustrate the viability of the abstract result of this work.

研究の動機と目的

• 時間に依存する遅延付きの中立型確率的関数微分方程式と分数ブラウン運動の組み合わせに関する理論的結果の不足に対処すること。
• 係数に関する適切な正則性およびリプシッツ連続性条件の下で、弱解の存在および一意性を確立すること。
• 非自励系への既存の結果を、非自励で時間に依存する状況に拡張すること。
• 記憶効果、継続的影響、長-range依存性を有するシステムを、分数ノイズを用いて厳密にモデル化するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 時間に依存する線形作用素A(t)によって生成される進化族を用いて、ヒルベルト空間内での弱解として問題を定式化する。
• 進化族と確率的畳み込みを介して定義される適切な積分作用素に対して、Banachの不動点定理を適用する。
• 分数ブラウン運動によって駆動される確率的畳み込み積分に対する、従来の手法とは異なる新規なL²-評価を導出する。
• 解が完備な距離空間に留まるように、遅延関数r(t)、ρ(t)および初期データφに条件を課す。
• Q-Hilbert-Schmidt作用素に依存する、ヒルベルト空間における分数ブラウン運動に関するウィENER積分を用いる。
• 有界な二階モーメントを持つ連続的適応過程の完備空間上で、収縮写像を構成し、一意な不動点を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する中立型確率的関数微分方程式が、分数ブラウン運動によって駆動される場合、ヒルベルト空間内で一意な弱解を有するための条件は何か？
• RQ2 非マルコフ的で非半マルティンゲール的ノイズに対して、分数ブラウン運動によって駆動される確率的畳み込み積分をL²ノルムでどのように評価できるか？
• RQ3 非線形関数f、g、σに対して、解の存在および一意性を保証するための最小限の正則性および成長条件は何か？
• RQ4 固定点法を、有限遅延および非マルコフ的ノイズを有する時間非自励系にどのように適合させられるか？
• RQ5 理論的フレームワークを、継続的構造を有する具体的な確率的偏微分方程式にどのように応用できるか？

主な発見

• 著者らは、与えられた有限遅延付きの中立型確率的関数微分方程式に対して、区間[−τ, T]上で弱解の存在および一意性を証明する。
• 分数ブラウン運動によって駆動される確率的畳み込み積分に対する、収縮法に不可欠な新規なL²-評価が導出された。
• 解は、有界な2階モーメントを持つ連続的適応過程の完備距離空間上での収縮写像によって構成される。
• 解の収縮性を保証するため、fとgのリプシッツ定数L*とM*の積がL*M* < 1を満たす必要がある。
• 固定点法は、ディリクレ境界条件を有する放物型SPDEの具体例に拡張され、F、G、σに関する適切な仮定の下で解の存在および一意性が示された。
• このフレームワークにより、固定点法の繰り返し適用によって、初期時間区間を超えて解を拡張可能である。