[論文レビュー] Time Evolution and Thermodynamics for the Nonequilibrium System in Phase-Space

Chen-Huan Wu|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般化されたギブズ集合（GGE）およびエントロピー集合における行列法を用いて、可積分系および非可積分系の両方を対象とし、位相空間における非平衡量子系の時間発展および熱力学を調査する。長時間平均における観測量の収束が対角集合の予測に一致することを示し、可積分系では熱化が抑制され、確率的でノイズを含むダイナミクスでは漸近的非熱化が生じ、無限大温度の準安定状態として特徴づけられる。

ABSTRACT

The integrable system is constrained strictly by the conservation law during the time evolution, and the nearly integrable system or nonintegrable system is also constrained by the conserved parameters (like the constants of motion) with corresponding generalized Gibbs ensemble (GGE) which is indubitability a powerful tool in the prediction of thr relaxation dynamics. For stochastic evolution dynamic with considerable noise, the obviously quantum or thermal correlations which don't exhibit the thermal behavior, (like the density of kinks or transverse magnetization correlators), display a asymptotic nonthermalization, and in fact it's a asymptotic quasisteady state with a infinte temperature, therefore the required distance to the nonthermal steady state is in a infinite time average. In this paper, we unambiguously investigate the relaxation of a nonequilibrium system in a canonical ensemble for integrable system or nonintegrable system, and the temporal behavior of many-body quantum system and the macroscopic system, as well as the corresponding linear-coupling between harmonic oscillators. Matrix-method in entropy ensemble is also utilized to discuss the boundary and the important diagonalization, the approximation by the perturbation theory is also obtained.

研究の動機と目的

• 非平衡多体量子系の可積分および非可積分領域における緩和ダイナミクスを理解すること。
• 保存量および一般化されたギブズ集合（GGE）が長時間挙動を決定づける役割を調査すること。
• ノイズや可積分性の破壊が存在する場合に、系が熱化に失敗する条件を分析すること。
• 時間発展における対角化および摂動近似を扱うために、エントロピー集合における行列法フレームワークを構築すること。
• 特に無限大温度の準安定状態を示す系において、熱化と漸近的非熱化の違いを明確にすること。

提案手法

• 可積分系における平衡的挙動を記述するために、保存量によって制約された一般化されたギブズ集合（GGE）を用いる。
• 時間発展演算子の計算に、$ O(g^3) $ までの摂動論を適用し、対角成分と非対角成分に分離する。
• 時間発展演算子の対角化を、$ e^{iHt} = e^{-s}e^{iH_dt}e^{s} $ を用いたユニタリ変換によって行い、$ s $-依存項を分離する。
• 観測量の長時間平均を $ \textstyle\langle A(t)\rangle = \sum_\alpha |\langle\alpha|\psi(0)\rangle|^2 \langle\alpha|A|\alpha\rangle $ として導出し、これは対角集合に対応する。
• 1次元系における時間発展演算のシミュレーションに、行列積演算子形式を用いる。特に、可積分系および不規則系においては非常に効率的である。
• 保存演算子 $ P_{\alpha_i} $ が存在する状況下で、対角化およびGGE期待値を扱うために、摂動平均化された行列要素 $ \tilde{A}_{\alpha_1\cdots\alpha_n} $ を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非平衡量子系における観測量の長時間平均は、初期状態および保存量にどのように依存するか？
• RQ2 系が熱化に失敗する条件は何か？ その漸近的非熱安定状態はどのように特徴づけられるか？
• RQ3 一般化されたギブズ集合（GGE）は、可積分系および非可積分系において、長時間挙動を予測する際に、微小カノニカル集合と比べてどのように異なるか？
• RQ4 密度行列の非対角成分が緩和ダイナミクスに果たす役割は何か？ また、それらは時間とともにどのように減衰するか？
• RQ5 ノイズや確率的力が存在する場合、熱化が生じない状況で、なぜ無限大温度の準安定状態が現れるのか？

主な発見

• 観測量の長時間平均は、$ \langle A(t)\rangle = \sum_\alpha |\langle\alpha|\psi(0)\rangle|^2 \langle\alpha|A|\alpha\rangle $ として与えられる対角集合に収束し、これは初期状態とエネルギー固有状態との重ね合わせにのみ依存する。
• 可積分系では、保存量によって制約され、標準的なギブズ状態への熱化は起こらず、代わりにGGEによって記述される。
• 十分な可積分性の破壊が存在する非可積分系では、系は熱化し、長時間平均は微小カノニカル集合における熱的期待値と一致する。
• 大きなノイズを含む確率的ダイナミクスでは、系は漸近的に非熱的安定状態に達し、無限大温度の状態となる。この状態への到達は、無限大時間平均でのみ実現される。
• 非対角成分の寄与は $ O(g^3) $ で抑制され、エネルギー準位差 $ E_a - E_b $ に支配される振動的減衰を示し、非可積分系では持続的なフラクチュエーションが生じる。
• 行列積演算子法は、可積分系および不規則系における時間発展演算のシミュレーションに非常に効率的であるが、エンタングルメントの増大のため、非可積分モデルでは非効率的である。