[論文レビュー] Time evolution of 1D gapless models from a domain-wall initial state: SLE continued?

Pasquale Calabrese, Christian Hagendorf+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2008

Quantum many-body systems参考文献 77被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、境界コンformal field theory（CFT）および虚時間経路積分を用いて、ドメインウォール状態から初期化された1次元ギャップレス量子系の時間発展を調査する。相関関数およびエンタングルメント・エントロピーの普遍的スケーリング行動を導出し、ドメインウォールによって引き起こされるエンタングルメントの普遍的定数シフトを明らかにするとともに、一般の $κ$ に対する確率的Loewner発展（SLE）との潜在的関係を検討する。

ABSTRACT

We study the time evolution of quantum one-dimensional gapless systems evolving from initial states with a domain-wall. We generalize the path-integral imaginary time approach that together with boundary conformal field theory allows to derive the time and space dependence of general correlation functions. The latter are explicitly obtained for the Ising universality class, and the typical behavior of one- and two-point functions is derived for the general case. Possible connections with the stochastic Loewner evolution are discussed and explicit results for one-point time dependent averages are obtained for generic κfor boundary conditions corresponding to SLE. We use this set of results to predict the time evolution of the entanglement entropy and obtain the universal constant shift due to the presence of a domain wall in the initial state.

研究の動機と目的

• ドメインウォール状態から初期化された1次元ギャップレス量子系の非平衡ダイナミクスを理解すること。
• 境界コンフォーマル場理論（CFT）を用いた虚時間経路積分法を、並進不変でない初期状態へ一般化すること。
• このような系における相関関数およびエンタングルメント・エントロピーの普遍的スケーリング行動を導出すること。
• 時間発展と確率的Loewner発展（SLE）との潜在的関係、特に一般の $κ$ に対して探求すること。
• ドメインウォール初期条件によって引き起こされるエンタングルメント・エントロピーの普遍的定数シフトを予測すること。

提案手法

• 実時間量子発展を1+1次元スラブ幾何における古典的統計力学問題に写像するため、虚時間経路積分形式を用いる。
• 臨界性における系の挙動を解析するため、境界コンフォーマル場理論（CFT）を適用し、初期のドメインウォール状態を境界条件として扱う。
• 上半平面からストリップ幾何に至る解析接続を用いて、時間依存相関関数を抽出する。
• 既知のCFT結果を用いて、イジング普遍性クラスにおける1点および2点関数の正確な表現を導出する。
• スケーリング議論およびボリューム内4点関数データを用いて、一般のギャップレス1次元系へ結果を一般化する。
• 任意の $κ$ に対してSLE境界条件の下での1点関数の挙動を分析し、確率的幾何モデルと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元ギャップレス系がドメインウォール初期状態に準備された場合、相関関数はどのように時間発展するか？
• RQ2 このような系における1点および2点関数の普遍的スケーリング行動は何か？また、因果関係にどのように依存するか？
• RQ3 CFTフレームワークからエンタングルメント・エントロピーの時間発展を予測できるか？ドメインウォールの役割は何か？
• RQ4 このような量子系の時間発展と確率的Loewner発展（SLE）との関係は何か？
• RQ5 結果はイジング模型を超えて、他のギャップレス1次元系へどのように一般化できるか？

主な発見

• 因果的に接続された点において、局所的演算子の2点関数は指数関数的に時間とともに減衰し、減衰率はスケーリング次元および有効逆温度 $β_{\rm eff} = 4\tau_0$ に依存する。
• イジング模型の場合、相関関数 $σ(1)ε(2)$ は因果的ホライズン効果を示し、$2t > |r_1 - r_2|$ を満たすまで相関の形成が開始されない。
• 任意の $κ$ に対してSLE境界条件の下での1点関数の時間発展が導出され、SLEパラメータに明示的な依存性が示された。
• エンタングルメント・エントロピーは、ドメインウォール初期状態によって普遍的定数シフトを示すことが予測された。
• 相関関数の漸近的挙動は、系が純粋状態にとどまっているにもかかわらず、有効逆温度 $β_{\rm eff} = 4\tau_0$ を持つ熱的状態と一致する。
• 一般の演算子における2点関数の減衰は不等式 $x_1 + x_2 - 2x_b > 0$ によって支配され、大時間において指数関数的に0に収束することが保証される。