[論文レビュー] Time-Frequency analysis via the Fourier Representation

Pushpendra Singh|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

Machine Fault Diagnosis Techniques参考文献 18被引用数 19

ひとこと要約

本論文は、フーリエ変換域における位相の周波数微分として定義される、『頻発的時間』（frequentaneous time）と呼ばれる、瞬時周波数の新しい双対概念を導入する。この概念を活用することで、時間局在信号成分をフーリエ変換から直接回復できる時間周波数分布（TFD-FT）を提案する。この方法は、非定常的かつ非線形な状況下でも、従来のIFベースの手法に比べて周波数局在信号の表現において優れた性能を示す。

ABSTRACT

The nonstationary nature of signals and nonlinear systems require the time-frequency representation. In time-domain signal, frequency information is derived from the phase of the Gabor's analytic signal which is practically obtained by the inverse Fourier transform. This study presents time-frequency analysis by the Fourier transform which maps the time-domain signal into the frequency-domain. In this study, we derive the time information from the phase of the frequency-domain signal and obtain the time-frequency representation. In order to obtain the time information in Fourier domain, we define the concept of `frequentaneous time' which is frequency derivative of phase. This is very similar to the group delay, which is also defined as frequency derivative of phase and it provide physical meaning only when it is positive. The frequentaneous time is always positive or negative depending upon whether signal is defined for only positive or negative times, respectively. If a signal is defined for both positive and negative times, then we divide the signal into two parts, signal for positive times and signal for negative times. The proposed frequentaneous time and Fourier transform based time-frequency distribution contains only those frequencies which are present in the Fourier spectrum. Simulations and numerical results, on many simulated as well as read data, demonstrate the efficacy of the proposed method for the time-frequency analysis of a signal.

研究の動機と目的

• 非定常的・非線形信号において、位相の時間微分が負となる場合に物理的意味を失う瞬時周波数（IF）の限界を解消すること。
• 単成分・多成分・狭帯域・広帯域・定常・非定常信号を含む、あらゆる信号タイプに対して有効な時間周波数表現（TFR）を開発すること。
• 瞬時周波数の双対概念としての『頻発的時間』を定義し、それがフーリエ領域における位相の周波数微分として表されることを示し、周波数スペクトルから時間情報を抽出可能にする。
• 提案手法であるTFD-FTが真のフーリエ周波数を保持しており、IFベースの手法よりも時間周波数エネルギー（TFE）分布をより正確に再現することを示すこと。
• 合成信号および実世界の信号（地震データなど）を用いた検証を通じて、周波数局在信号の表現において優れた性能を示すことを確認すること。

提案手法

• 『頻発的時間』（τ(f)）を、位相スペクトルの周波数微分として定義する：τ(f) = dφ(f)/df。これは群遅延に類似しているが、符号にかかわらず適用可能である。
• 時間領域信号x[n]をフーリエ変換により周波数領域信号X(f)にマッピングし、すべてのスペクトル成分を保持する。
• X(f)の位相から頻発的時間を用いて時間局在情報を抽出し、三次元の時間周波数分布の再構成を可能にする。
• 分解処理（例：1 Hz帯に分解）を施した信号および非分解信号の両方に対して適用し、複雑な信号における分解能および解釈可能性を向上させる。
• τ(f)、f、X(f)を用いて時間周波数エネルギー（TFE）分布を構築し、フーリエスペクトルに存在する周波数のみを含めるようにする。
• 提案手法のTFD-FTと従来のTFD-IF（逆フーリエ変換およびIFに基づく）を比較し、信号局在化およびスペクトル精度の観点から性能を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての信号タイプに対して、時間局在信号表現を可能にする、フーリエ領域における瞬時周波数の双対概念を定義できるか？
• RQ2 提案手法のTFD-FTは、周波数に集中する信号と時間に集中する信号の両方において、IFベースのTFD-IFと比較してどのように性能を発揮するか？
• RQ3 正負の時間区間を含む信号に対しても、頻発的時間の概念は有効であり、物理的に意味を持つのか？
• RQ4 地震データのように複数の波型にエネルギーが分散する非定常的・非線形信号に対しても、提案手法は正確に表現できるか？
• RQ5 TFD-FT手法は真のフーリエスペクトルを保持しており、IFベースの手法とは異なり周波数平均化を回避するのか？

主な発見

• 提案されたTFD-FT手法は、100 Hzの正弦波のような周波数にエネルギーが集中する信号に対しても、正確な時間周波数局在化を実現する。一方、TFD-IFは時間平均化によるアーチファクトを示す。
• 2つの正弦波（100 Hz と 200 Hz）の和に対しては、TFD-FTは両周波数にエネルギーを正しく表示するが、TFD-IFは周波数平均化のため150 Hzにエネルギーが集中してしまう。
• エルセントロ地震データにおいて、1 Hz分解を施したTFD-FTおよびTFD-IFは、最大エネルギーが1.7 Hzおよび2秒に集中していることを示し、周波数と振幅の違いからP波・S波などの異なる波型を識別可能である。
• TFD-FT手法は真のフーリエスペクトルを保持しており、時間積分によって得られる周辺スペクトルが標準的なフーリエベースのパワースペクトル密度（PSD）と一致する。これはIFベースの手法に比べて顕著な利点である。
• 頻発的時間の概念は、位相の時間微分が負であってもすべての信号タイプに対して有効であり、従来の瞬時周波数の根本的限界を克服する。
• シミュレーションにより、信号が周波数に局在する場合にはTFD-FTがTFD-IFを上回ることを確認した。一方、信号が時間に局在する場合にはTFD-IFが優れることが示され、両手法の相補的な強みが浮き彫りになった。