[論文レビュー] Time functions on Lorentzian length spaces

Annegret Burtscher, Leonardo García-Heveling|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2021

Advanced Differential Geometry Research参考文献 68被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、滑らかな多様体やローレンツ計量を仮定しないローレンツ型（準）長さ空間—一般化された時空—における時間関数の基礎的存在結果を確立する。グローバルな双曲的性は、カウチ時間関数を用いた特徴づけられ、一般化された時間関数に対して $K$-因果的性質が成立し、修正されたゲローシュ体積関数を用いた因果的連続性が示される。主な貢献は、時間関数が存在し、良好に振る舞うのは、微分可能性や計量構造とは無関係に、因果構造が最小限の正則性条件を満たす場合に限ることを示したことである。

ABSTRACT

In general relativity, time functions are crucial objects whose existence and properties are intimately tied to the causal structure of a spacetime and also to the initial value formulation of the Einstein equations. In this work we establish all fundamental classical existence results on time functions in the setting of Lorentzian (pre-)length spaces (including causally plain continuous spacetimes, closed cone fields and even more singular spaces). More precisely, we characterize the existence of time functions by $K$-causality, show that a modified notion of Geroch's volume functions are time functions if and only if the space is causally continuous, and lastly, characterize global hyperbolicity by the existence of Cauchy time functions, and Cauchy sets. Our results thus inevitably show that no manifold structure is needed in order to obtain suitable time functions.

研究の動機と目的

• 滑らかな時空から一般化されたローレンツ型（準）長さ空間への古典的時間関数存在定理の拡張。
• 時間関数の存在を保証する因果的条件（例：$K$-因果的性、因果的連続性、グローバルな双曲的性）を同定すること。
• この抽象的枠組みにおいて、カウチ時間関数の存在がグローバルな双曲的性を特徴づけることの証明。
• 修正されたゲローシュ体積関数が、かつては因果的連続性である場合に限り時間関数であることを示すこと。
• 良好に振る舞う時間関数の存在に、多様体や計量構造を仮定しないこと。因果的および位相的構造のみに依存すること。

提案手法

• 因果の段階を用いて時間関数を特徴づけ、$K$-因果的性を時間関数存在の必要十分条件として用いる。
• 全被覆を持つボレル確率測度を用いた、ゲローシュ体積関数の修正版を導入。これは歴史的過去における平均体積を用いる。
• 極限曲線定理と適切な距離空間の性質を用いて、因果的曲線の収束性とコンパクト性を保証する。
• グローバルに双曲的な空間における $J^\pm(p)$ の閉性とプッシュアップ性を用い、体積関数の非ゼロ極限を仮定した場合の矛盾を導出する。
• ルベーグの優越収束定理を用いて、非延長可能な因果的曲線に沿った体積関数の挙動を分析する。
• ナッホビンの順序付き空間理論の結果およびローレンツ型長さ空間に関する先行研究を活用し、古典的因果理論を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな多様体構造を持たないローレンツ型準長さ空間において、どのような因果的条件下で時間関数が存在するか？
• RQ2 ローレンツ計量が存在しない状況で、修正されたゲローシュ体積関数が時間関数であるのはいつか？
• RQ3 因果的連続性は、体積に基づく時間関数の正則性とどのように関係するか？
• RQ4 抽象的因果空間において、グローバルな双曲的性は、カウチ時間関数の存在によって特徴づけられるか？
• RQ5 因果理論は、微分可能性や計量テンソルの正則性とは独立して、どの程度発展可能か？

主な発見

• ローレンツ型準長さ空間に時間関数が存在するための必要十分条件は、その空間が $K$-因果的であることである。これにより、因果的性と時間関数の存在の間に根本的な関係が確立される。
• 修正されたゲローシュ体積関数が時間関数であるための必要十分条件は、空間が因果的連続であることである。これは古典的結果を特異的かつ非滑らかな状況に一般化したものである。
• グローバルな双曲的性は、カウチ時間関数の存在によって特徴づけられる。ここで、レベル集合は、二重に非延長可能な因果的曲線をちょうど1回ずつ交差する。
• グローバルに双曲的なローレンツ型準長さ空間において、平均体積関数 $t^\pm$ は、任意の二重に非延長可能な因果的曲線 $\gamma$ に対して $\lim_{s\to b}t^+(\gamma(s)) = \lim_{s\to a}t^-(\gamma(s)) = 0$ を満たし、時間関数としての振る舞いを確認する。
• 体積関数の極限挙動の証明は、$J(q,\gamma(b))$ のコンパクト性とプッシュアップ性を用いた背理法に依拠しており、非ゼロ極限が因果的閉じ込めを意味することを示す。
• 結果は滑らかな多様体やローレンツ計量を仮定せず、因果的構造、位相的構造、および全被覆を持つ測度を有する適切な距離空間にのみ依存する。