[論文レビュー] Time in classical and quantum mechanics

Jesús Muñoz-Díaz, R.J. Alonso-Blanco|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自由系に対する時間制約またはヘーツィアン射影を用いて、古典力学から時間に依存するシュレーディンガー方程式の2つの幾何学的導出を提案する。時間パラメータがハミルトン＝ヤコビ方程式から得られるニュートン的時間と波動的時間の線形結合として生じることを示し、エネルギー周波数関係 $E = h\nu$ は、重ね合わせ状態ではなく定常状態においてのみ古典的に解釈可能であることを明らかにする。

ABSTRACT

In this article we study the nature of time in Mechanics. The fundamental principle, according to which a mechanical system evolves governed by a second order differential equation, implies the existence of an absolute time-duration in the sense of Newton. There is a second notion of time for conservative systems which makes the Hamiltonian action evolve at a constant rate. In Quantum Mechanics the absolute time loses its sense as it does the notion of trajectory. Then, we propose two different ways to reach the time dependent Schrödinger equation. One way consists of considering a "time constraint" on a free system. The other way is based on the point of view of Hertz, by considering the system as a projection of a free system. In the later manner, the "time" appearing in the Schrödinger equation is a linear combination of the time-duration with the "time" quotient of the action by the energy on each solution of the Hamilton-Jacobi equation. Both of them are based on a rule of quantization that we explain in Section 4.

研究の動機と目的

• 標準量子理論における時間パラメータが外部的パラメータとして果たす役割を明らかにすること。
• シュレーディンガー方程式における時間パラメータの解釈の曖昧さと、古典的時間および作用との関係を解消すること。
• 古典的2次微分方程式の運動を量子力学的進化に一貫して写像する幾何学的正準化則を確立すること。
• 周期的軌道を有する系において、$E = h\nu$ の周波数が古典的に解釈可能かどうかを検討すること。
• シュレーディンガー方程式における時間が絶対的時間ではなく、作用およびエネルギー準位に結びついた導出された量であることを示すこと。

提案手法

• 自由力学系に時間制約を課し、特定の関数が一様に変化する軌道に状態空間を制限することで、古典的時間パラメータを定義する。
• 反変テンソル場への一般化された正準化則を適用し、エネルギー・運動量などの古典的観測量を量子演算子に写像する。
• 保存系を高次元空間における制約付き測地線系としてモデル化するヘーツィアン射影を用い、二重の時間パラメータを導入する。
• 制約付き系におけるハミルトニアンおよび時間発展演算子の正準化により、時間に依存するシュレーディンガー方程式を導出し、$\widehat{H}\Psi = i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t^0}$ を得る。
• 量子的時間パラメータとして、$t^0 = \tau - 2t$ を導入し、$t$ をニュートン的時間、$\tau = S/E$ をハミルトン＝ヤコビ作用から得られる波動的時間とする。
• スチュールの定理を適用し、$t^0$ を $-i\widehat{H}/\hbar$ によって生成されるユニタリ群のパラメータとして解釈することで、量子力学的ダイナミクスと結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存するシュレーディンガー方程式における時間パラメータを、古典的力学的原理からどのように導出できるか。
• RQ2 ヘーツィアン射影を用いてシュレーディンガー方程式を導出した際、現れる時間 $t^0$ の古典的解釈は何か。
• RQ3 周期的軌道を有する系において、$E = h\nu$ の関係が一貫した古典的解釈を有するか。
• RQ4 エネルギー固有状態の重ね合わせにおいて、シュレーディンガー方程式の時間パラメータが古典的意味を持たないのはなぜか。
• RQ5 ニュートン的時間、波動的時間、量子的時間の統一的幾何的フレームワークが、保存系において実現可能か。

主な発見

• ヘーツィアン射影を用いて導出されたシュレーディンガー方程式における時間パラメータ $t^0$ は、ニュートン的時間 $t$ と波動的時間 $\tau = S/E$ の線形結合であり、$t^0 = \tau - 2t$ で与えられる。
• 調和振動子においては、$t$、$\tau$、$t^0$ の周期が一致し、$\nu = E/h$ が古典的周波数と一致する。
• ケプラー問題においては、$t^0$ は1周期で $-4T$ に蓄積され、波動関数の位相は $T$ で再び回復する。これは $\nu = E/h$ と整合的である。
• 重ね合わせ状態においてもシュレーディンガー方程式 $\widehat{H}\Psi = i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t^0}$ が成立するが、この場合 $t^0$ には古典的解釈が存在しない。
• 正準化則により、古典的2次微分方程式の運動が量子力学的進化に自然に写像され、ハミルトニアン $\widehat{H} = -\frac{1}{2}\hbar^2 \Delta + U$ が幾何的構造から自然に導かれる。
• 時間 $t^0$ は配置空間上の関数ではなく、接バンドル上の1形式の類として定義され、それが進化のパラメータとしての役割を果たすが物理的観測量ではないことを反映している。