[論文レビュー] Todd class via homotopy perturbation theory

Shilin Yu|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、形式的近傍のドレーム代数にホモトピー摂動理論を適用することで、複素多様体の閉埋め込みの一般化されたTodd類を計算する。量子化されたサイクル類 $\operatorname{Td}_{\sigma}(X/Y)$ が再帰的ホモトピー公式から自然に生じ、摂動展開からベルヌーイ数が現れ、第二階の形式的近傍を用いた幾何的障害理論を提供する。

ABSTRACT

We compute the quantized cycle class of a closed embedding of complex manifolds defined by Grivaux using homotopy perturbation theory. In the case of a diagonal embedding, our approach provides a novel perspective of the usual Todd class of a complex manifold.

研究の動機と目的

• 複素多様体の閉埋め込み $i: X \hookrightarrow Y$ に対して、Grivauxの量子化サイクル類 $q_\sigma(X)$ を計算すること。
• 対角埋め込みの場合のTodd類の、新しいホモトピー論的導出を提供すること。
• 第二階の形式的近傍 $X^{(2)}_Y$ を用いて一般化されたTodd類 $\operatorname{Td}_\sigma(X/Y)$ を特徴付けること。
• コhomological類 $R^\bot_2$ と $\gamma_\sigma$ を含むものとして、$X^{(2)}_Y$ 上での余接バンドルの拡張の障害を同定すること。

提案手法

• 形式的近傍 $X^{(\infty)}_Y$ のドレーム微分幾何代数（dga）にホモトピー摂動理論（HPT）を適用する。
• ドレーム代数上のコhesiveモジュールのdgカテゴリを用いて、$\mathscr{O}_X$-モジュールの導来カテゴリをモデル化する。
• コホモロジー的モジュールのクラスにおけるコシュール型分解を構成し、$\mathscr{O}_X \otimes^L_{\mathscr{O}_Y} \mathscr{O}_X$ の導来テンソル積をモデル化する。
• 摂動補題を用いてホモトピーデータの再帰的公式を導出し、ベルヌーイ数の出現を明らかにする。
• ホロモーフィックなリトラクション $\sigma$ が第一階の形式的近傍 $X^{(1)}_Y$ から $X$ へ存在することにより、$\mathscr{O}_X$-線形性を保証する。
• $X^{(2)}_Y$ 上での拡張された余接バンドル $\overline{N}^\vee$ の $\overline{\partial}$-接続を分析し、整合性条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の複素多様体の閉埋め込みに対して、量子化サイクル類 $q_\sigma(X)$ を明示的に計算する方法は何か？
• RQ2 第二階の形式的近傍 $X^{(2)}_Y$ は、一般化されたTodd類 $\operatorname{Td}_\sigma(X/Y)$ を決定するために果たす役割は何か？
• RQ3 ベルヌーイ数は、Todd類のホモトピー摂動展開においてどのように現れるか？
• RQ4 余接バンドル $p_\sigma^*N^\vee$ が $X^{(2)}_Y$ 上のホロモーフィックベクトルバンドルに拡張できるための幾何的障害は何か？
• RQ5 一般化されたTodd類 $\operatorname{Td}_\sigma(X/Y)$ が 1 に等しくなるのはどのような条件下か？

主な発見

• 一般化されたTodd類 $\operatorname{Td}_\sigma(X/Y)$ は、第一階の近傍よりも第二階の形式的近傍 $X^{(2)}_Y$ によって完全に決定される。
• $\gamma_\sigma = [R^\top_2 \circ R_N]$ が 0 であることは、余接バンドル $p_\sigma^*N^\vee$ が $X^{(2)}_Y$ 上のホロモーフィックベクトルバンドルに拡張可能であるための必要十分条件であり、コhomologicalな障害を提供する。
• 摂動展開により、古典的Todd類に類似した $\operatorname{Td}_\sigma(X/Y)$ の公式が得られ、ベルヌーイ数は再帰的ホモトピー公式から生じる。
• $\gamma_\sigma = 0$ かつ $[R^\bot_2] = 0$ のとき、一般化されたTodd類は $\operatorname{Td}_\sigma(X/Y) = 1$ を満たし、これは $\overline{N}$ のホロモーフィック切断でゼロ切断に横断的に交わるものが存在するときにちょうど成立する。
• そのような切断の存在は $[R^\bot_2] = 0$ と同値であり、一般化されたTodd類が自明であるための幾何的基準を確立する。
• $\overline{N}^\vee$ 上の $\overline{\partial}$-接続は $D_{\overline{N}^\vee} = \overline{\partial} + R^\top_2 \circ \nabla^\bot + C$ の形をとり、整合性は $R^\top_2 \circ R_N + \overline{\partial}C = 0$、すなわち $\gamma_\sigma = 0$ と同値である。