[論文レビュー] Topological aspects of the NS5-brane

Hisham Sati|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 45被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、タイプIIA超弦理論におけるNS5-braneの分配関数にかかる位相的制約を、その分配関数が正しく定義されるために必要なコhomology類の消滅を導入することによって調査する。この研究では、分配関数の位相的位相が、4次コhomology類上のポントリャーギン平方作用素から生じることを確立し、主要な結果として、ウー類と世界体積多様体上の torsion 群のガウス和を含む mod 8 のシグニチャーフォーミュラが得られる。

ABSTRACT

In this note we investigate certain topological aspects of the effective action of the NS5-brane in type IIA string theory. To facilitate the study of the corresponding partition function, we define a cohomology class whose vanishing is a necessary condition for this function to be well-defined. This leads to various topological conditions, including a twisted Fivebrane structure as well as secondary cohomology operations arising from a K-theoretic description. We explain how these operations also generate the topological part of the action as well as the phase of the partition function. Part of the discussion also applies to the M5-brane.

研究の動機と目的

• タイプIIA超弦理論におけるNS5-braneの分配関数が正しく定義されるための位相的条件を同定すること。
• コhomologicalおよびK理論的構造を用いて、ラムンド＝ラムンド場（F₂, F₄, F₆）にかかる制約を導出すること。
• 分配関数の位相的位相が、特にポントリャーギン平方作用素を含む2次コhomology作用素とどのように関係するかを明らかにすること。
• 次元削減と双対性を用いて、NS5-braneからM5-braneへの解析を拡張すること。
• 拡張された世界体積多様体上でのコhomology作用素と二次的修正を用いて、NS5-braneの位相的作用を定式化すること。

提案手法

• NS5-braneの分配関数が正しく定義されるために必要な、時空多様体上に新たなコhomology類を定義する。
• チェーン＝シモンズ構成を用いて、6次元のNS5-brane世界体積を7次元の円バンドルに、さらに境界を持つ8次元多様体に持ち上げる。
• 整数係数のスティーナロード平方作用素およびポントリャーギン平方作用素を、特にH⁴に torsion が存在する状況下での拡張世界体積上のコhomology類に適用する。
• 7次元世界体積上でのリンクイングペアリングとガウス和を用いて、torsion 群上の作用の二次的修正を構成する。
• ウー類、ポントリャーギン平方作用素、およびガウス和のノルムを含む mod 8 のシグニチャーフォーミュラを導出し、分配関数の位相を計算する。
• 式 (4.12) における条件によって、整数係数とmod 2係数のコhomology類の整合性が保たれることを要求し、次元削減と持ち上げの整合性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 NS5-braneの分配関数が正しく定義されるために満たすべき位相的条件は何か？
• RQ2 特にポントリャーギン平方作用素を含む2次コhomology作用素は、作用の位相的部分にどのように寄与するか？
• RQ3 H⁴(Y⁷; ℤ) における torsion が、分配関数の位相を決定する上で果たす明確な役割は何か？
• RQ4 ラムンド＝ラムンド場のK理論的記述は、RR場にかかる制約にどのように影響するか？
• RQ5 8次元多様体Z⁸のシグニチャ一は、ポントリャーギン平方作用素とガウス和を介して、どのように分配関数の位相を符号化するか？

主な発見

• 特定のコhomology類の消滅は、NS5-braneの分配関数が正しく定義されるために必要な条件であり、これによりねじれたFivebrane構造が得られる。
• 分配関数の位相は、8次元多様体Z⁸のシグニチャ一の1/8であり、ウー類と torsion 部分群のガウス和を含む mod 8 のフォーミュラによって計算される。
• H⁴(Y⁷; ℤ) が torsion 無しの場合、相対コhomologyへの像上でポントリャーギン平方作用素は消え、位相はウー類の mod 8 シグニチャ一に簡略化される。
• torsion が存在する場合、位相はウー類の mod 8 シグニチャ一と、torsion 部分群上での二次的作用のガウス和のノルムの和によって決定される。
• 整合性条件 (4.12) により、次元削減と持ち上げが整合的であり、torsion が存在する状況でも作用が2で割れることが保証される。
• 最終的なシグニチャ一フォーミュラ (4.13) は、σ(Z⁸) = ⟨v₄², [Z⁸, Y⁷]⟩ + S(b) − |𝒢(T⁴(Y⁷), S)| ∈ ℤ₈ と表され、ここでS(b)は二次的修正、|𝒢|はガウス和のノルムである。