[論文レビュー] On the partition sum of the NS five-brane

Robbert Dijkgraaf, Erik Verlinde+1 more|ArXiv.org|May 27, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用数 61

ひとこと要約

本稿は、平坦なRR 3形式背景を持つ二重スケーリングされた脱結合限界において、Calabi-Yau三様多様体に包まれたType IIA NS五-braneの量子補正付きユークリッド的分配函数を計算する。T双対性を用いて五-braneをType IIBにおけるALE特異点に写像することで、古典的フラックス和はシータ関数として表現され、量子補正はBモデルトポロジカル弦振幅から生じ、完全な分配函数は正則異常方程式を満たし、リトルスレッド理論とトポロジカル弦理論を結びつける。

ABSTRACT

We study the Type IIA NS five-brane wrapped on a Calabi-Yau manifold X in a double-scaled decoupling limit. We calculate the euclidean partition function in the presence of a flat RR 3-form field. The classical contribution is given by a sum over fluxes of the self-dual tensor field which reduces to a theta-function. The quantum contributions are computed using a T-dual IIB background where the five-branes are replaced by an ALE singularity. Using the supergravity effective action we find that the loop corrections to the free energy are given by B-model topological string amplitudes. This seems to provide a direct link between the double-scaled little strings on the five-brane worldvolume and topological strings. Both the classical and quantum contributions to the partition function satisfy (conjugate) holomorphic anomaly equations, which explains an observation of Witten relating topological string theory to the quantization of three-form fields.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau多様体に包まれたNS五-braneの二重スケーリング脱結合限界におけるユークリッド的分配函数を計算すること。
• 特に平坦なRR場の存在下での五-brane分配函数に対する量子補正を理解すること。
• 五-braneの二重スケーリングされたリトルスレッド理論とトポロジカル弦理論の間の直接的な関係を、分配函数を通じて確立すること。
• 分配函数の古典的および量子的寄与が共役正則異常方程式を満たすことを示すこと。
• Type IIA Calabi-Yauコンパクト化におけるハイパーマニフォールズモジュリ空間への五-braneインスタントン補正を計算するための枠組みを提供すること。

提案手法

• Type IIAにおけるCalabi-Yau上のNS五-brane配置を、$A_{k-1}$型のALE特異点を持つType IIB背景に写像するT双対性を用いることで、五-braneを除去する。
• 自己双対テンソル場のフラックス和として古典的分配函数を計算し、$Z_X^{cl} = \overline{\Theta_{\alpha,\beta}(x;z)}$ としてシータ関数で表現する。
• 超重力有効作用法則を介して量子補正を特定し、$\mathcal{F}_g(z,\bar{z})$ を含むF項が自由エネルギーに寄与する。
• 量子補正をBモデルトポロジカル弦振幅 $\mathcal{F}_g(z,\bar{z})$ に結びつけ、有効弦結合定数 $\lambda^{2g-2}$ におけるループ補正を記述する。
• Bモデルの正則異常方程式を用いて、分配函数の古典的および量子的成分が共役正則異常方程式を満たすことを示す。
• 微分を変換し、波動関数を $x^i$, $\lambda$, および複素構造モジュライ $z^i$ の関数として表現することで、新しい座標系におけるBCOV方程式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦なRR 3形式場が二重スケーリング限界における五-brane分配函数の量子補正に与える影響は何か？
• RQ2 NS五-braneがCalabi-Yau多様体に包まれた場合の、正確な量子補正付き分配函数の形は何か？
• RQ3 T双対性はIIAにおける五-brane系をIIBにおけるトポロジカル弦背景にどのように関連づけるか？また、ALE特異点の役割は何か？
• RQ4 なぜ分配函数の古典的および量子的寄与が正則異常方程式を満たすのか？その物理的意味は何か？
• RQ5 五-brane分配函数は、シータ関数とトポロジカル弦振幅の生成関数の積として表現可能か？これは、既知の $\theta/\eta$ 形式をCalabi-Yau多様体へ一般化するか？

主な発見

• 古典的分配函数は、Calabi-Yau多様体上のRR 3形式場のフラックス和として表されるシータ関数 $Z_X^{cl} = \overline{\Theta_{\alpha,\beta}(x;z)}$ で与えられる。
• 量子補正は生成関数 $Z_X^{qu} = \exp\left(\sum_{g>0} \mathcal{F}_g(z,\bar{z}) \lambda^{2g-2}\right)$ に符号化されており、ここで $\mathcal{F}_g$ はBモデルトポロジカル弦振幅である。
• 完全な分配函数は $Z_X = Z_X^{cl} \cdot Z_X^{qu}$ の積として与えられ、古典的フラックス和と量子ループ補正を統合する。
• X = K3 \times T^2 の場合、分配函数は $Z_{K3\times T^2} = \frac{\theta_{4,20}(\tau,\bar{\tau})}{\eta(\tau)^{24}}$ に簡略化され、シータ関数はフラックスに起因し、エータ関数は $g=1$ ループ振幅に起因する。
• 分配函数の古典的および量子的成分は、共役正則異常方程式を満たしており、これはWittenによる三形式場の量子化に関する観察を説明する。
• この結果により、五-brane世界面における二重スケーリングリトルスレッド理論とトポロジカル弦理論との間の直接的な関係が、分配函数の構造を通じて確立される。