[論文レビュー] Topological dynamics of generic piecewise continuous contractive maps in n dimensions

Eleonora Catsigeras, Rubén Budelli|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな $n$-次元球上で定義された $C^0$-一般の区分的連続で局所的収縮性を持つ写像——連続性の各領域の像が互いに交わらない（分離性）——が、高々有限個の持続的周期的アトラクターを示し、構造安定なカオスを示さないことを確立する。力学系は位相的双曲的性質に類似しており、不連続性ラインが無限の拡張率を持つ位相的サドルとして機能し、カオス的挙動が微小な摂動に対して分岐的かつ不安定であることを保証する。

ABSTRACT

We study the topological dynamics by iterations of a piecewise continuous, non linear and locally contractive map in a real finite dimensional compact ball. We consider those maps satisfying the "separation property": different continuity pieces have disjoint images. The continuity pieces act as stable topological manifolds while the points in the discontinuity lines, separating different continuity pieces, act as topological saddles with an infinite expanding rate. We prove that C0 generically such systems exhibit one and at most a finite number of persistent periodic sinks attracting all the orbits. In other words, the chaotic behaviors that this class of mappings may exhibit, are structurally unstable and bifurcating.

研究の動機と目的

• 区分的連続で局所的収縮性を持つ写像が $n$ 次元コンパクト空間上に存在する際、周期的挙動とカオス的挙動のどちらがより一般的に現れるかを特定すること。
• 連続性領域の像が互いに交わらない（分離性）という条件下での、こうした写像の位相的力学系を分析すること。
• カオス的アトラクターが微小な $C^0$ 摂動に対して構造的に安定であるか、それとも一般に不安定であるかを調査すること。
• アフィン区分的写像に関する古典的結果を、非アフィン的で滑らかでないが局所的収縮性を持つ高次元系へと拡張すること。
• 即時シナプス結合を有するニューロンネットワークモデルの理論的基盤を提供すること。ここで力学系は、ポアンカレ帰着写像によってモデル化される。

提案手法

• 連続性領域の像が互いに交わらない（分離性）を満たす、コンパクトな $n$-次元球上に定義された区分的連続的で局所的収縮性を持つ写像のクラスを定義する。
• 不連続性ラインを、収縮が発生する安定集合に直交する仮想不安定多様体を用いて、無限の拡張率を持つ位相的サドルとしてモデル化する。
• 与えられた写像 $F$ の $\epsilon$-摂動 $G$ を、連続性領域の分割を細分化し、各 $U_i$ のコンパクト部分領域 $C_i \subset U_i$ に写像を制限することで構成する。このとき $\text{dist}({\cal P}, \widehat{{\cal P}}) < \epsilon_1$ が成り立つようにする。
• 分割間のハウスドルフ距離を用いて摂動の大きさを制御し、新たな分離ライン $S_{\widehat{{\cal P}}}$ が $k$ 世代目の拡張原子を避けるように保証する。
• コンパクト距離空間上での補題 3.2 を適用し、$G$ が一様に収縮的であり、有限回の反復後に不連続性ラインを避けることから、$G$ は最終的に周期的であり、持続的極限円周を持つことを証明する。
• $G$ が $F$ の $C^0$-摂動であり、分離性が不連続性集合への再帰を防ぐため、最終的に周期的アトラクターへ収束することが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n$ 次元における区分的連続的で局所的収縮性を持つ写像は、どの程度の頻度でカオス的挙動と周期的挙動を示すか？
• RQ2 このような系において、カオス的アトラクターは微小な $C^0$ 摂動に対しても持続的か、それとも構造的に不安定か？
• RQ3 連続性領域の像が互いに交わらない（分離性）という性質が、カオス的挙動の存在をどの程度保証するか？
• RQ4 即時シナプス結合を持つ大規模ニューロンネットワークの力学系は、こうした区分的連続写像としてモデル化可能か？ また、どのような漸近的挙動が生じるか？
• RQ5 このクラスの写像にカントール集合アトラクターが存在可能か？ どのような条件下で存在するか？

主な発見

• $C^0$ 位相において、分離性を満たす一般の区分的連続的で局所的収縮性を持つ写像は、高々有限個の持続的周期的アトラクターを示す。
• 存在する場合、カオス的挙動は構造的に不安定であり、微小な摂動に対して分岐的である。
• 不連続性ラインは無限の拡張率を持つ位相的サドルとして機能し、再帰を防ぎ、軌道が最終的になんらかの形でそれらを避けることを保証する。
• 写像が最終的に周期的でない場合、コンパクト領域上の一様収縮性により、こうした系の極限集合は周期的アトラクターから構成される。
• $F$ の $\epsilon$-摂動 $G$ は、有限回の反復後に不連続性集合を避けるように構成可能であり、その場合 $G$ は持続的極限円周を持つ最終的周期的写像である。
• $n \geq 2$ 次元において、補題 3.2 を満たさない写像の構成が存在し、その極限集合にカントール集合アトラクターを含むものがある。これは、周期的挙動が普遍的ではないが、一般には成立することを示している。