[論文レビュー] Topological exodromy with coefficients

Mauro Porta, Jean-Baptiste Teyssier|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、局所的に弱く可縮な層を持つ分離空間へとexodromy同値を一般化し、noether性および上昇鎖条件の仮定を排除し、係数を安定またはコンパクト生成 $∞$-圏へと拡張する。関手的なexodromy同値を確立し、超構造的ハイパーシーブの導来モジュライスタックを構成することで、Schiffmann-VasserotおよびDavison-Mistryの構成を一般化する新しいコhomological Hall代数を導く。

ABSTRACT

We improve the exodromy equivalence of MacPherson, Treumann and Lurie in several ways: first, we allow stratified spaces that have locally weakly contractible strata, rather than being locally of singular shape, we remove all noetherianity assumptions and we consider more general coefficients (e.g. compactly assembled or stable presentable $\infty$-categories). Furthermore, our approach shows that the exodromy equivalence is functorial for every morphism of stratified spaces. As an application, we construct, under suitable finiteness assumptions, a higher Artin derived stack of hyperconstructible hypersheaves and prove that every perversity function gives rise to an open substack of perverse hypersheaves. Using the derived structure, we provide the construction of a new cohomological Hall algebra, generalizing the ones of character varieties studied in the past by Schiffmann-Vasserot, Davison and Mistry.

研究の動機と目的

• 局所的特異形状の空間という古典的設定を超えて、局所的に弱く可縮な層を持つ分離空間へとexodromy同値を拡張すること。
• 層のposetに対するnoether性および上昇鎖条件の仮定を排除すること。
• exodromy同値の係数を、安定またはコンパクト生成 $∞$-圏へと一般化すること。
• すべての分離空間の間の写像に対して成り立つ関手的定式化を提供すること。
• 超構造的ハイパーシーブの導来モジュライスタックを構成し、perversity関数を用いて perverse sheaves と関連付けること。

提案手法

• 特異形状の仮定を緩和するために、構造的シーブの $∞$-圏を、超構造的ハイパーシーブの $∞$-圏に置き換える。
• exodromy対応の関手の定義域として、$∞$-圏 $Π_{∞}^{Σ}(X,P)$ を用いる。
• すべての分離空間の写像に対して成り立つ関手的枠組みを導入し、exodromy同値を定式化する。
• 導来代数幾何学を用いて、超構造的ハイパーシーブの導来モジュライスタック ${}^{π}\mathbf{Perv}_{P}(X)$ を構成する。
• すべてのperversity関数が、モジュライスタック内での perverse ハイパーシーブの開部分スタックを定義することを証明する。
• perverse ハイパーシーブのモジュライスタックの導来構造を用いて、新しいコhomological Hall代数を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 exodromy同値は、特異形状条件を課さずに、局所的に弱く可縮な層を持つ分離空間へと拡張可能か？
• RQ2 層のposetに対する上昇鎖条件を排除した場合でも、exodromy同値は成立するか？
• RQ3 exodromy対応は、安定またはコンパクト生成 $∞$-圏を係数として一般化可能か？
• RQ4 すべての分離空間の写像に対して成り立つ関手的定式化は存在するか？
• RQ5 超構造的ハイパーシーブの導来モジュライスタックを構成可能か？また、それは自然にコhomological Hall代数の構造を備えているか？

主な発見

• exodromy同値は、局所的に弱く可縮な層を持つ分離空間へと拡張され、特異形状仮定が置き換えられた。
• 層のposet $P$ に対するnoether性および上昇鎖条件の仮定が不要となった。
• exodromy対応の係数は、すべての安定またはコンパクト生成 $∞$-圏へと一般化された。
• exodromy同値の逆写像の明示的公式が提供され、その関手的性が強化された。
• 超構造的ハイパーシーブの導来モジュライスタックが構成され、すべてのperversity関数が perverse ハイパーシーブの開部分スタックを定義する。
• perverse ハイパーシーブのモジュライスタック上に、Schiffmann-VasserotおよびDavison-Mistryの構成を一般化する新しいコhomological Hall代数が定義された。