[論文レビュー] Topological Mirrors and Quantum Rings

Cumrun Vafa|ArXiv.org|Nov 7, 1991

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ひとこと要約

本稿では、弦理論におけるミラー対称性が、2つの異なるトポロジカル量子場理論のクラス、すなわちトポロジカル・シグマ・モデルとトポロジカル・ランダウ・ギンツブルグ理論の間の同型として再定式化されると提案している。量子コホノロジー環とランダウ・ギンツブルグ理論のチャーラル環の双対性に注目することで、複雑な幾何的計算が双対的でより単純なトポロジカル・モデルを通じて取り扱える枠組みが確立され、量子群や可積分系との深い関係が明らかになった。

ABSTRACT

Aspects of duality and mirror symmetry in string theory are discussed. We emphasize, through examples, the importance of loop spaces for a deeper understanding of the geometrical origin of dualities in string theory. Moreover we show that mirror symmetry can be reformulated in very simple terms as the statement of equivalence of two classes of topological theories: Topological sigma models and topological Landau-Ginzburg models. Some suggestions are made for generalization of the notion of mirror symmetry.

研究の動機と目的

• ミラー対称性を、見かけ上異なる2つのトポロジカル量子場理論、すなわちトポロジカル・シグマ・モデルとトポロジカル・ランダウ・ギンツブルグ理論の間の同型として再定式化すること。
• カーラビ＝ヤウ多様体の量子コホノロジー環とランダウ・ギンツブルグ理論のチャーラル環が、ミラー対称性の下で同型であることを示すこと。
• ループ空間とストリングヒルベルト空間が、弦理論における双対性を理解する上で果たす役割を調査すること。
• 変動ホッジ構造といった抽象代数的構造に注目することで、カーラビ＝ヤウ多様体を超えたミラー対称性の一般化を試みること。
• 量子コホノロジー環と量子群の表現環との間に潜在する関係を調査し、ミラー対称性のより広範な数学的枠組みを提示すること。

提案手法

• 複雑な conformal field theory の代わりに、トポロジカル場理論の定式化を用いてミラー対称性の研究を簡略化すること。
• ループ空間上のストリング状態の演算子積代数を用いてストリング真空を定義し、真空同士の同型が双対性を示すこと。
• 量子コホノロジー環を、ケーラー類をパrameterとする古典的コホノロジー環の変形として定義し、インスタントン補正を捉えること。
• ランダウ・ギンツブルグ理論のチャーラル環と多様体の量子コホノロジー環との間の対応を確立し、特に CP^{n-1} と SU(n) 量子群に対して検証すること。
• 特殊幾何学の概念とその非臨界性への一般化を用いて、ミラー対称性をカーラビ＝ヤウ多様体に限らないように拡張すること。
• 特にその同型類に注目することで、多様体そのものに依存するのではなく代数的不変量に注目し、抽象的な環の構造を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミラー対称性は、2つの異なるトポロジカル量子場理論の間の同型として普遍的に定式化可能だろうか？
• RQ2 ケーラー多様体の量子コホノロジー環とランダウ・ギンツブルグモデルのチャーラル環との間の明確な数学的関係は何か？
• RQ3 変動ホッジ構造といった抽象代数的構造を用いることで、ミラー対称性はカーラビ＝ヤウ多様体を超えてどの程度一般化可能だろうか？
• RQ4 量子コホノロジー環と量子群の表現環との間に深い関係があるとすれば、それはどのように現れるだろうか？
• RQ5 4次元トポロジーにおけるドナルドソン不変量の複雑さは、弦理論におけるミラー対称性に類似したトポロジカル・ミラー理論によって同様に簡略化可能だろうか？

主な発見

• ミラー対称性は、カーラビ＝ヤウ多様体の量子コホノロジー環と双対ランダウ・ギンツブルグモデルのチャーラル環との同型に等しい。
• 多様体上のストリングのヒルベルト空間はループ空間上の汎関数によって記述可能であり、双対多様体は同型なストリング真空を与えるため、ミラー対を定義する。
• CP^{n-1} に対して、レベル k=1 における量子コホノロジー環は、SU(n) 量子群の表現環と同型である。
• 非臨界性における特殊幾何学の構造により、ミラー対称性はグラスマンニアンなど非カーラビ＝ヤウ多様体に対しても拡張可能である。
• 量子群の表現環を持つ有理的 conformal field theory が可積分場理論に対応するという強い兆候があり、可積分性とミラー対称性との間の関係が示唆される。
• 固定された位相的不変量を持つ非同型の変動ホッジ構造の希少性が、ミラー対称性の存在の根拠である可能性があり、深い数学的制約を示唆する。