[論文レビュー] Topological Moduli Space for Germs of Holomorphic Foliations

David Marín, Jean-François Mattei+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 38被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、(C², 0) 上の正則foliationの芽に対して、分離子集合、Camacho-Sad指数、およびモノドロミー表現といった位相的不変量を固定し、群グラフと呼ばれる新しい代数的対象のコホモロジーを用いて、位相的モジュライ空間を構成する。一般条件のもとで、このモジュライ空間は複素トーラスと有限アーベル群の積の商と同型であることが示され、有限次元的で代数的位相的構造を持つことが明らかになる。このモジュライ空間は、有限型のfoliationに対して成り立つ。

ABSTRACT

This work deals with the topological classification of germs of singular foliations on (ℂ2,0). Working in a suitable class of foliations we fix the topological invariants given by the separatrix set, the Camacho-Sad indices, and the projective holonomy representations and we compute the moduli space of topological classes in terms of the cohomology of a new algebraic object that we call group-graph. This moduli space may be an infinite-dimensional functional space but under generic conditions we prove that it has finite dimension and we describe its algebraic and topological structure.

研究の動機と目的

• (C², 0) 上の特異正則foliationの芽を位相的同値関係で分類すること。
• 分離子集合、Camacho-Sad指数、およびモノドロミー表現を超えた残りの位相的不変量を特定・分離すること。
• このようなfoliationの位相的同値類のモジュライ空間の幾何学的・代数的構造を記述すること。
• モジュライ空間が有限次元的となるfoliationのクラス（「有限型」と呼ばれる）を特徴づけること。
• 一般条件のもとで、有限次元空間によってパrametrizedされた普遍的な解析的族を構成することで、完全な位相的分類を確立すること。

提案手法

• 正則交差をもつコンpakトな曲線、有限個の特異点集合Σ、および交差ペアリングıを備えたマーク付き除法E⋄ = (E, Σ, ı)を定義する。
• foliationの特異的除法および特異点に関連する群グラフの概念を導入し、位相的およびモノドロミー的データを符号化する。
• 群グラフの非アーベルコホモロジーを用いて、位相的同値類のモジュライ空間を計算する。
• 非ノード特異点における正則性を保つように、局所的な同値関係∼Eの一般化を用いて、位相的同値のグローバル化を実行する。
• 切断成分を横切る横断的切断と幾何的実現を用いた帰納的構成により、局所的同値関係を拡張し、全体的な位相的同相を構築する。
• 剛性条件（TR）と横断的構造を活用して、同相写像の正則性を保証し、最終的にC⁰同相写像を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則foliationの芽 (C², 0) に対して、分離子集合、Camacho-Sad指数、およびモノドロミー表現を超えた完全な位相的不変量の集合は何か？
• RQ2 位相的同値類のモジュライ空間が有限次元的となる条件は何か？
• RQ3 コホモロジー的データの観点から、モジュライ空間を代数的および位相的にどのように特徴づけられるか？
• RQ4 群グラフは、foliationの位相的および力学的構造をどのように符号化しているか？
• RQ5 どのような場合に位相的同値性が正則的同相性を意味し、そのような同相写像はいつグローバルに拡張可能となるか？

主な発見

• 一般条件のもとで、位相的同値類のモジュライ空間は、群 (F ⊕ B ⊕ ⨁λj=1 (C∗/αjZ) ⊕ (C∗)ν) / Z と同型である。ここでFは有限アーベル群、BはU(1)の完全に不連結な部分群の和であり、λ, ν, βは局所的特異点型に依存する。
• モジュライ空間が有限次元的であるのは、例外的切断成分に1成分あたり≤2個の特異点をもたないfoliation（「有限型」として特徴づけられる）に限る。
• 横断的剛性条件（TR）が成立するとき、位相的同相写像は正則的同相写像を意味し、同相写像の正則性が保証される。
• グローバル同相写像の構成は、非例外的切断成分を横切る局所的モノドロミー同相写像を、[29]の主要定理の拡張版を用いて拡張することで実現される。
• 例外的切断成分（1成分あたり≤2個の特異点）に対しては、Camacho-Sad指数と自己交差数の一致により、局所的同相写像をグローバルなC⁰同相写像に貼り合わせられる。
• 最終的に、双曲的成分への拡張は、円板の和からAut₀(C, 0)への連続写像を、より大きな円板上で定数拡張することで実現され、位相的構造が保存される。