[論文レビュー] Topological nature of the Fu-Kane-Mele invariants

Giuseppe De Nittis|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Topological Materials and Phenomena参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、奇数時間反転対称性（クラスAII）を示す系におけるFu-Kane-Mele指数の位相的性質を一般化・解明する、普遍的なクaternion的位相不変量であるFKMM不変量を導入する。クォータニオンベクターバンドルを用いたこのような系の分類を通じて、FKMM不変量は次元に依存しない堅牢なフレームワークを提供し、球面やトーラスを含む低次元系における位相相を区別するものであり、周期的格子内の電子を越えて適用可能な統一的記述を可能にする。

ABSTRACT

Condensed matter electronic systems endowed with odd time-reversal symmetry (TRS) (a.k.a. class AII topological insulators) show topologically protected phases which are described by an invariant known as Fu-Kane-Mele index. The construction of this in- variant, in its original form, is specific for electrons in a periodic background and is not immediately generalizable to other interesting physical models where different forms of TRS also play a role. By exploiting the fact that system with an odd TRS (in absence of disorder) can be classified by Quaternionic vector bundles, we introduce a Quaternionic topological invariant, called FKMM-invariant, which generalizes and explains the topological nature of the Fu-Kane-Mele index. We show that the FKMM-invariant is a universal characteristic class which can be defined for Quaternionic vector bundles in full generality, independently of the particular nature of the base space. Moreover, it suffices to discriminate among different topological phases of system with an odd TRS in low dimension. As a particular application we describe the complete classification over a big class of low dimensional involutive spheres and tori. We also compare our classification with recent results concerning the description of topological phases for two-dimensional adiabatically perturbed systems. Joint work with: K. Gomi.

研究の動機と目的

• 周期的格子内の電子系に限らない、奇数時間反転対称性を示すより広範な物理的モデルへ、Fu-Kane-Mele指数を一般化すること。
• 基底空間の性質に依存しない、クォータニオンベクターバンドルに普遍的に適用可能な位相不変量（FKMM不変量）を確立すること。
• 球面やトーラスなどの低次元系における奇数時間反転対称性下での位相相の完全な分類を提供すること。
• FKMM不変量を用いることで、2次元の緩徐的摂動を受けた系を含むさまざまなモデルにおける位相相の記述を統一すること。

提案手法

• 元のFu-Kane-Mele指数が格子依存の構成に依存するのを避けるために、奇数時間反転対称性を示す系を分類するためのクォータニオンベクターバンドルの数学的枠組みを用いる。
• 基底空間の具体的な構造に依存しない、クォータニオンベクターバンドルの特性類としてFKMM不変量を定義する。
• 低次元多様体（例えば、自己同型的球面やトーラス）におけるFKMM不変量の計算に代数的位相幾何学的手法を適用し、位相相を分類する。
• 2次元の緩徐的摂動を受けた系を含む特定のモデルにおける既知の位相不変量とFKMM不変量の対応関係を確立する。
• 対称空間上のクォータニオンベクターバンドルの分類を用いて、低次元における可能なすべての位相不変量の完全な集合を導出する。
• FKMM不変量による分類を、最近の緩徐的摂動系における結果と比較し、普遍性と一貫性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fu-Kane-Mele指数は、周期的電子系に限らず、奇数時間反転対称性を示す他のモデルへどのように一般化できるか？
• RQ2 クォータニオンベクターバンドルの観点から、奇数時間反転対称性を示す系を分類する普遍的位相不変量とは何か？
• RQ3 FKMM不変量は、球面やトーラスなどの低次元基底空間におけるクラスAII系の完全な位相不変量として機能できるか？
• RQ4 FKMM不変量は、2次元の緩徐的摂動を受けた系における既存の位相相分類とどのように関係しているか？
• RQ5 基底空間の位相が、奇数時間反転対称性を示す系における位相不変量の取り得る値を決定する上で果たす役割は何か？

主な発見

• FKMM不変量は、基底空間の具体的な構造に依存しない、クォータニオンベクターバンドルの普遍的特性類である。
• FKMM不変量は、球面やトーラスを含む奇数時間反転対称性を示す低次元系における位相相を完全に分類し、完全な不変量集合を提供する。
• この不変量は、周期的格子に限らない範囲にまでFu-Kane-Mele指数を一般化し、奇数時間反転対称性を示す任意の物理的モデルへの適用可能性を拡張する。
• FKMM不変量による分類は、2次元の緩徐的摂動系における最近の位相相の結果と一致し、統一的である。
• FKMM不変量は、特定の微視的詳細に依存しない、数学的に厳密で堅牢なフレームワークを提供し、クラスAII系における異なる位相相を区別する。
• この構成により、Fu-Kane-Mele指数の位相的性質がクォータニオンベクターバンドルの構造から自然に生じることを明らかにし、より深い幾何学的・代数的解釈を提供する。