[論文レビュー] Topological Order and Symmetry Anomaly on the Surface of Topological Crystalline Insulators

Sungjoon Hong, Liang Fu|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2017

nanoparticles nucleation surface interactions被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、鏡対称性によって保護されるトポロジカル結晶絶縁体（TCI）の表面で、対称性を保つアーベル的トポロジカル秩序を実現する微視的ハミルトニアンを構築する。カップルド・ワイヤー法を用いて、SnTeにおけるn=2のディラックフェルミオンコピーに対して、フェルミオン的ℤ₄トポロジカル秩序を示し、二つの平行な鏡面が任意onsに異なる作用を及えるという、新しい鏡対称性の異常を明らかにした。この異常は、電荷-スピン自己双対性と非自明な任意ons置換を特徴としている。

ABSTRACT

We present microscopic Hamiltonians that gap the Dirac fermions on the surface of topological crystalline insulators (TCIs) protected by reflection symmetry and create symmetry-preserving states with Abelian topological orders. For TCIs with $n = 2$ copies of surface Dirac fermions, we find a fermionic $\mathbb{Z}_4$ topological order with charge-spin self duality and with a novel symmetry action on the anyons, whereby reflections with respect to two parallel planes act differently. We also analyze TCIs with $n = 1$ and $4$ copies of Dirac fermions, which taken together covers every nontrivial case in the $\mathbb{Z}_8 \oplus \mathbb{Z}_2$ classification of interacting TCIs. Our work reveals a fundamental difference between reflection and charge-conjugation-time-reversal symmetry anomalies.

研究の動機と目的

• トポロジカル結晶絶縁体（TCI）の表面に、ギャップを持つ対称性を保つトポロジカル秩序を実現する微視的モデルを構築すること。
• 強い電子相互作用の下で、表面トポロジカル秩序における鏡対称性が任意onsにどのように作用するかを調査すること。
• n=1, 2, 4の表面ディラックフェルミオンコピーを分析することで、相互作用的TCIの完全な分類を解明すること。これにより、ℤ₈⊕ℤ₂分類をカバーする。
• 従来研究された電荷共役-時間反転対称性異常と比較し、トポロジカル相における鏡対称性異常を対比すること。
• カップルド・ワイヤー法を用いて、非自明な任意ons統計および対称性分数量を有する表面トポロジカル秩序の微視的実現を提供すること。

提案手法

• 周期的に交互に変化するディラック質量項を用いて、2次元表面ディラックフェルミオンを1次元エッジ状態の配列に変形する。
• カップルド・ワイヤー法を適用し、ギャップを持つバルクおよび保護されたエッジモードを有する微視的ハミルトニアンを構築する。
• 反射対称性を保ちつつ系をギャップさせることを目的に、2マヨラナ相互作用項 $ H_{\text{int}} = iV\sum_j \int dx\, \gamma_{j,R}\gamma_{j+1,L}\cos(\Theta_j - \Theta_{j+1}) $ を導入する。
• 物理的整合性を保つために、物理的電子およびボソン的演算子への写像として $ \psi^n \sim e^{i(\phi_{+,j} - \phi_{-,j})} $ を行う。
• 任意onsを $ \Theta $ 場のキントおよび発生フェルミオンとして特定し、融合則 $ \boldsymbol{s} \times \boldsymbol{s} \sim I $、$ \boldsymbol{\psi} \times \boldsymbol{\psi} \sim I $ を得ることで、ℤ₄トポロジカル秩序を確認する。
• 鏡対称性 $ M_y $ が任意onsに与える作用を分析し、$ \boldsymbol{s} \leftrightarrow \boldsymbol{s}\boldsymbol{\psi} $ であり、$ \boldsymbol{\psi} $ が不変であることを示し、非自明な異常を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n=2のディラックフェルミオンコピーを有するTCI表面において、微視的モデルを用いてギャップを持ち、対称性を保つトポロジカル秩序を実現できるか？
• RQ2 TCI表面トポロジカル秩序における鏡対称性は、任意onsにどのように作用するか。この作用は異常的である可能性があるか？
• RQ3 n=2のTCIに対して得られるトポロジカル相における任意ons統計および融合則の性質は何か？
• RQ4 他のトポロジカル相における電荷共役-時間反転対称性異常と比較して、TCIにおける鏡対称性異常はどのように異なるか？
• RQ5 カップルド・ワイヤー法を用いて、異なる数のディラックフェルミオンコピーを有するTCI表面におけるトポロジカル秩序を体系的に構築・分析できるか？

主な発見

• n=2のディラックフェルミオンコピーを有するTCI表面において、電荷-スピン自己双対性および非自明な任意ons融合則を有するフェルミオン的ℤ₄トポロジカル秩序が実現された。
• 鏡対称性が任意onsに異常に作用する：二つの平行な鏡面による反射は、任意onsの置換を異なる方法で行い、$ \boldsymbol{s} \leftrightarrow \boldsymbol{s}\boldsymbol{\psi} $ であり、$ \boldsymbol{\psi} $ は不変である。
• 任意onsの内容は $ \{I, \boldsymbol{s}\} \times \{I, \boldsymbol{\psi}\} $ であり、$ \boldsymbol{s} \times \boldsymbol{s} \sim I $、$ \boldsymbol{\psi} \times \boldsymbol{\psi} \sim I $ であるため、ℤ₄トポロジカル秩序が確認された。
• ギャップを持ち、対称性を保つ表面状態が実現され、任意onsは脱コンfinement状態にあり、(反)セミオンは $ e^{i\phi_{+,j}} $ によって生成され、その輸送は局所的ボソン的演算子によって媒介される。
• マヨラナエッジモードはギャップを持たず、アーベル的トポロジカル秩序にもかかわらず、相のトポロジカル性が確認された。
• 分析により、鏡対称性異常は、電荷共役-時間反転対称性異常とは根本的に異なり、空間的反射における異なる任意ons置換パターンに起因することが確認された。