[論文レビュー] Topological phases protected by point group symmetry

Hao Song, Sheng-Jie Huang+2 more|CU Scholar (University of Colorado Boulder)|Apr 27, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 24

ひとこと要約

本論文は、結晶的点群対称性を有するボソンおよびフェルミオンの対称性保護型トポロジカル（SPT）相を分類・特徴付ける一般枠組みを構築する。この枠組みにより、このような相は、局所対称性を有する低次元トポロジカル状態の積層やアレイとして構成可能であることが示された。主な貢献は、3次元点群SPT相の体系的分類であり、電子的トポロジカル結晶絶縁体に対して$π×\mathbb{Z}_{2}$分類、フェルミオン的トポロジカル結晶超伝導体に対して$π_{8}×\mathbb{Z}_{2}$分類を明らかにした。これにより、強い電子相関が関与する新しいトポロジカル相のクラスが特定された。

ABSTRACT

We consider symmetry protected topological (SPT) phases with crystalline point group symmetry, dubbed point group SPT (pgSPT) phases. We show that such phases can be understood in terms of lower-dimensional topological phases with on-site symmetry, and can be constructed as stacks and arrays of these lower-dimensional states. This provides the basis for a general framework to classify and characterize bosonic and fermionic pgSPT phases, that can be applied for arbitrary crystalline point group symmetry and in arbitrary spatial dimension. We develop and illustrate this framework by means of a few examples, focusing on three-dimensional states. We classify bosonic pgSPT phases and fermionic topological crystalline superconductors with $Z_2^P$ (reflection) symmetry, electronic topological crystalline insulators (TCIs) with ${ m U}(1) imes {Z}_2^P$ symmetry, and bosonic pgSPT phases with $C_{2v}$ symmetry, which is generated by two perpendicular mirror reflections. We also study surface properties, with a focus on gapped, topologically ordered surface states. For electronic TCIs we find a $Z_8 imes Z_2$ classification, where the $Z_8$ corresponds to known states obtained from non-interacting electrons, and the $Z_2$ corresponds to a "strongly correlated" TCI that requires strong interactions in the bulk. Our approach may also point the way toward a general theory of symmetry enriched topological (SET) phases with crystalline point group symmetry.

研究の動機と目的

• 結晶的点群対称性を有する対称性保護型トポロジカル（SPT）相を、点群SPT（pgSPT）相と呼ぶ一般枠組みを構築すること。
• 従来、内部対称性に限られていた分類手法を、任意の次元における反転や回転などの結晶的対称性へと拡張すること。
• 非相互作用バンド理論では記述できない強相関SPT相を特定・特徴付けること、特に反転対称性を有する系において。
• pgSPT相の表面状態を分析し、ギャップがありトポロジカルに秩序化された表面状態が任意子統計を実現することを焦点とする。
• 結晶的点群対称性を有する対称性拡張トポロジカル（SET）相の一般理論の基盤を築くこと。

提案手法

• 著者らは、局所対称性を有する低次元トポロジカル状態の積層やアレイとしてpgSPT相を構築し、任意次元における体系的分類を可能にした。
• 一般化された対称性分数量の概念を用い、ストリングおよび膜演算子を用いて反転面を越える任意子統計と対称性変換を調べた。
• このフレームワークは、$\mathbb{Z}_{2}^{P}$（反転）、$C_{2v}$（2つの直交する鏡面）、$\mathrm{U}(1)\times\mathbb{Z}_{2}^{P}$（電荷および反転対称性）といった特定の点群に適用された。
• フェルミオン系に対しては、反転対称性を持つ任意子を有する修正されたトーリックコードモデルを用い、トポロジカルにデゲネレートした基底状態と対称性を保つ秩序の存在を示した。
• 対称性分数量の整合性条件と任意子のバタリング統計を用いて分類を導出し、反射軸上での対称演算子の積に由来する制約を用いた。
• 反射作用下で互いに変換しあう状態の対称重ね合わせに射影することで、反射対称性を保つ基底状態を構築した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結晶的点群対称性によって保護されるトポロジカル相は、任意の次元空間においてどのように体系的に分類可能か？
• RQ2 強い電子相関は、非相互作用バンド理論の分類を超える新しいトポロジカル不変量を生成する役割を果たすか？
• RQ3 点群SPT相において、ギャップがありトポロジカルに秩序化された表面状態が出現可能か？その任意子的構造は何か？
• RQ4 反転対称性は、フェルミオン系およびボソン系における可能なトポロジカル不変量にどのように制約を加えるか？
• RQ5 このフレームワークは、結晶的点群対称性を有する一般の対称性拡張トポロジカル相理論に拡張可能か？

主な発見

• 本論文は、$\mathrm{U}(1)\times\mathbb{Z}_{2}^{P}$対称性を有する電子的トポロジカル結晶絶縁体に対して$π_{8}×\mathbb{Z}_{2}$分類を確立した。ここで$\mathbb{Z}_{8}$成分は非相互作用状態に対応し、$\mathbb{Z}_{2}$成分は新しい強相関TBI相に対応する。
• 反射対称性$\mathbb{Z}_{2}^{P}$を有するフェルミオン的トポロジカル結晶超伝導体に対しては、$\sigma^{2}=1$のとき$\mathbb{Z}_{16}$分類であり、$\sigma^{2}=(-1)^{F}$のときは自明である。これはフェルミオン数の偶奇に基づく区別を示している。
• 2つの直交する鏡面反転を有するボソン的pgSPT相は、$(\mathbb{Z}_{2})^{4}$として分類され、複数の反転対称性の相互作用を反映している。
• 修正されたトーリックコードモデルは4重のトポロジカルデゲネレートを実現し、ストリング演算子を用いて反射軸を越えて任意子を輸送可能であり、非自明な任意子統計を確認した。
• 反射対称性を保つ基底状態は、反射作用下で互いに変換しあう2つの状態の対称重ね合わせとして構築され、局所的対称性の破れにもかかわらず、グローバルな対称性の保存を保証した。
• このフレームワークにより、特定のトポロジカル相は強相関が本質的であることが判明した。$\mathrm{U}(1)\times\mathbb{Z}_{2}^{P}$分類における$\mathbb{Z}_{2}$成分は、自由フェルミオンモデルでは記述できないことから、これが裏付けられた。